Dimostrare che il polinomio $ \displaystyle[f'(x)]^2-f(x) \cdot f''(x) $
non ha radici reali.
Il quesito appare anche in un altro sito dove ci stanno lavorando.
Vediamo chi arriva prima...
karl
Uno strano polinomio
Uno strano polinomio
Sia f(x) un polinomio a coefficienti reali e a radici reali e tutte distinte.
Dimostrare che il polinomio $ \displaystyle[f'(x)]^2-f(x) \cdot f''(x) $
non ha radici reali.
Il quesito appare anche in un altro sito dove ci stanno lavorando.
Vediamo chi arriva prima...
karl
Dimostrare che il polinomio $ \displaystyle[f'(x)]^2-f(x) \cdot f''(x) $
non ha radici reali.
Il quesito appare anche in un altro sito dove ci stanno lavorando.
Vediamo chi arriva prima...
karl
Se $ x_k $, $ k=1,\ldots,n $ sono le radici di $ \displaystyle f(x) $ vale
$ \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{x-x_k} $.
Si può infatti scrivere $ f(x) $ nel modo seguente:
$ \displaystyle f(x)=a_n \prod_{k=1}^n (x-x_k) $.
Passando ai logaritmi,
$ \displaystyle \ln[f(x)]=\ln \left[a_n\prod_{k=1}^n (x-x_k) \right]= \ln a_n + \sum_{k=1}^n \ln (x-x_k) $.
Differenziando,
$ \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}= \sum_{k=1}^n \frac{1}{x-x_k} $.
Derivando membro a membro l'uguaglianza provata sopra,
$ \displaystyle \frac{f''(x) \cdot f(x)-[f'(x)]^2}{[f(x)]^2} = - \sum_{k=1}^n \frac{1}{(x-x_k)^2} $.
Il denominatore del LHS è certamente positivo o nullo. Il segno dell'intera frazione dipende dunque dal suo numeratore. D'altra parte, il RHS è certamente negativo (ma mai nullo). Perciò
$ \displaystyle [f'(x)]^2-f(x) \cdot f''(x) >0 $ $ \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} $,
e l'asserto segue.
$ \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{x-x_k} $.
Si può infatti scrivere $ f(x) $ nel modo seguente:
$ \displaystyle f(x)=a_n \prod_{k=1}^n (x-x_k) $.
Passando ai logaritmi,
$ \displaystyle \ln[f(x)]=\ln \left[a_n\prod_{k=1}^n (x-x_k) \right]= \ln a_n + \sum_{k=1}^n \ln (x-x_k) $.
Differenziando,
$ \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}= \sum_{k=1}^n \frac{1}{x-x_k} $.
Derivando membro a membro l'uguaglianza provata sopra,
$ \displaystyle \frac{f''(x) \cdot f(x)-[f'(x)]^2}{[f(x)]^2} = - \sum_{k=1}^n \frac{1}{(x-x_k)^2} $.
Il denominatore del LHS è certamente positivo o nullo. Il segno dell'intera frazione dipende dunque dal suo numeratore. D'altra parte, il RHS è certamente negativo (ma mai nullo). Perciò
$ \displaystyle [f'(x)]^2-f(x) \cdot f''(x) >0 $ $ \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} $,
e l'asserto segue.
Saluti ad Elgiovo
L'uso del logaritmo,che forse richiederebbe qualche considerazione sui segni,può essere evitato così.
Se scriviamo:
$ \displaystyle f(x)=a_o(x-x_1)(x-x_2)..(x-x_{n-1})(x-x_n) $
derivando otteniamo:
$ \displaystyle f'(x)=a_o(x-x_2)(x-x_3)..(x-x_{n-1})(x-x_n)+ $$ \displaystyle a_o(x-x_1)(x-x_3)..(x-x_{n-1})(x-x_n)+ $$ \displaystyle..+a_o(x-x_1)(x-x_2)..(x-x_{n-1}) $
Questa relazione si può evidentemente scrivere anche così:
$ \displaystyle f'(x)=\frac{f(x)}{x-x_1}+\frac{f(x)}{x-x_2}+..+\frac{f(x)}{x-x_n} $
da cui :
$ \displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{x-x_k} $
e poi il seguito.
karl
L'uso del logaritmo,che forse richiederebbe qualche considerazione sui segni,può essere evitato così.
Se scriviamo:
$ \displaystyle f(x)=a_o(x-x_1)(x-x_2)..(x-x_{n-1})(x-x_n) $
derivando otteniamo:
$ \displaystyle f'(x)=a_o(x-x_2)(x-x_3)..(x-x_{n-1})(x-x_n)+ $$ \displaystyle a_o(x-x_1)(x-x_3)..(x-x_{n-1})(x-x_n)+ $$ \displaystyle..+a_o(x-x_1)(x-x_2)..(x-x_{n-1}) $
Questa relazione si può evidentemente scrivere anche così:
$ \displaystyle f'(x)=\frac{f(x)}{x-x_1}+\frac{f(x)}{x-x_2}+..+\frac{f(x)}{x-x_n} $
da cui :
$ \displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{x-x_k} $
e poi il seguito.
karl
