Sia f(x) un polinomio a coefficienti reali e a radici reali e tutte distinte.
Dimostrare che il polinomio $ \displaystyle[f'(x)]^2-f(x) \cdot f''(x) $
non ha radici reali.
Il quesito appare anche in un altro sito dove ci stanno lavorando.
Vediamo chi arriva prima...
karl
Uno strano polinomio
Se $ x_k $, $ k=1,\ldots,n $ sono le radici di $ \displaystyle f(x) $ vale
$ \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{x-x_k} $.
Si può infatti scrivere $ f(x) $ nel modo seguente:
$ \displaystyle f(x)=a_n \prod_{k=1}^n (x-x_k) $.
Passando ai logaritmi,
$ \displaystyle \ln[f(x)]=\ln \left[a_n\prod_{k=1}^n (x-x_k) \right]= \ln a_n + \sum_{k=1}^n \ln (x-x_k) $.
Differenziando,
$ \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}= \sum_{k=1}^n \frac{1}{x-x_k} $.
Derivando membro a membro l'uguaglianza provata sopra,
$ \displaystyle \frac{f''(x) \cdot f(x)-[f'(x)]^2}{[f(x)]^2} = - \sum_{k=1}^n \frac{1}{(x-x_k)^2} $.
Il denominatore del LHS è certamente positivo o nullo. Il segno dell'intera frazione dipende dunque dal suo numeratore. D'altra parte, il RHS è certamente negativo (ma mai nullo). Perciò
$ \displaystyle [f'(x)]^2-f(x) \cdot f''(x) >0 $ $ \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} $,
e l'asserto segue.
$ \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{x-x_k} $.
Si può infatti scrivere $ f(x) $ nel modo seguente:
$ \displaystyle f(x)=a_n \prod_{k=1}^n (x-x_k) $.
Passando ai logaritmi,
$ \displaystyle \ln[f(x)]=\ln \left[a_n\prod_{k=1}^n (x-x_k) \right]= \ln a_n + \sum_{k=1}^n \ln (x-x_k) $.
Differenziando,
$ \displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}= \sum_{k=1}^n \frac{1}{x-x_k} $.
Derivando membro a membro l'uguaglianza provata sopra,
$ \displaystyle \frac{f''(x) \cdot f(x)-[f'(x)]^2}{[f(x)]^2} = - \sum_{k=1}^n \frac{1}{(x-x_k)^2} $.
Il denominatore del LHS è certamente positivo o nullo. Il segno dell'intera frazione dipende dunque dal suo numeratore. D'altra parte, il RHS è certamente negativo (ma mai nullo). Perciò
$ \displaystyle [f'(x)]^2-f(x) \cdot f''(x) >0 $ $ \displaystyle \forall x \in \mathbb{R} $,
e l'asserto segue.
Saluti ad Elgiovo
L'uso del logaritmo,che forse richiederebbe qualche considerazione sui segni,può essere evitato così.
Se scriviamo:
$ \displaystyle f(x)=a_o(x-x_1)(x-x_2)..(x-x_{n-1})(x-x_n) $
derivando otteniamo:
$ \displaystyle f'(x)=a_o(x-x_2)(x-x_3)..(x-x_{n-1})(x-x_n)+ $$ \displaystyle a_o(x-x_1)(x-x_3)..(x-x_{n-1})(x-x_n)+ $$ \displaystyle..+a_o(x-x_1)(x-x_2)..(x-x_{n-1}) $
Questa relazione si può evidentemente scrivere anche così:
$ \displaystyle f'(x)=\frac{f(x)}{x-x_1}+\frac{f(x)}{x-x_2}+..+\frac{f(x)}{x-x_n} $
da cui :
$ \displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{x-x_k} $
e poi il seguito.
karl
L'uso del logaritmo,che forse richiederebbe qualche considerazione sui segni,può essere evitato così.
Se scriviamo:
$ \displaystyle f(x)=a_o(x-x_1)(x-x_2)..(x-x_{n-1})(x-x_n) $
derivando otteniamo:
$ \displaystyle f'(x)=a_o(x-x_2)(x-x_3)..(x-x_{n-1})(x-x_n)+ $$ \displaystyle a_o(x-x_1)(x-x_3)..(x-x_{n-1})(x-x_n)+ $$ \displaystyle..+a_o(x-x_1)(x-x_2)..(x-x_{n-1}) $
Questa relazione si può evidentemente scrivere anche così:
$ \displaystyle f'(x)=\frac{f(x)}{x-x_1}+\frac{f(x)}{x-x_2}+..+\frac{f(x)}{x-x_n} $
da cui :
$ \displaystyle\frac{f'(x)}{f(x)}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{x-x_k} $
e poi il seguito.
karl