grado 9 di quella gara dell'est a gradi..:-)

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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jordan
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grado 9 di quella gara dell'est a gradi..:-)

Messaggio da jordan » 05 mar 2008, 01:45

sia assegnati 6 numeri reali tali che:
i) $ \sum_{i=1}^{6}{x_i^2}=6 $
ii) $ \sum_{i=1}^{6}{x_i}=0 $

Dimostrare allora che $ \displaystyle -1 \le \prod_{i=1}^{6}{x_i} \le \frac{1}{2} $


a me non è risultato proprio immediato,comunque se non ricordo male un esercizio del genere è stato anche a qualche preimo recente, quindi (se per caso vi stesse venendo in mente lagrange) esiste anche la soluzione olimpica.. :wink:
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darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 05 mar 2008, 20:01

Niente robe strane... sia $ \displaystyle K=\sum \frac{|x_i|}{2} $ (di modo che la somma degli x_i positivi è uguale a K, esattamente come il modulo della somma dei negativi) e P il numero degli x_i positivi.
Usiamo la tecnica (credo) 12 delle Schede: generalizziamo. Poniamoci il problema nella condizione più debole $ \sum x_i^2 \leq 6 $. Fissato K, il massimo del prodotto (in modulo) si ha se tutti i negativi sono uguali fra loro e tutti i positivi tra loro (semplice applicazione delle medie); d'altra parte, scegliendo, al posto degli x_i di partenza, P termini uguali a $ \frac{K}{P} $ e (6-P) termini uguali a $ -\frac{K}{P-6} $ la somma dei quadrati diminuisce, la somma resta 0, quindi stiamo ancora nelle ipotesi, mentre il prodotto è aumentato, per cui il massimo del modulo del prodotto è quello che si ottiene in questo caso: $ (\frac{K}{P})^P \cdot (\frac{K}{6-P})^{6-P} = K^6 \cdot P^{-P} \cdot (6-P)^{P-6} $
Ora, chiaramente possiamo fare in modo che P=1,2,o 3 (P=0 è assurdo; se P è 4 o più cambio tutti i segni)
D'altra parte vale $ P(K/P)^2+(6-P)(\frac{K}{6-P})^2 \leq 6 \Rightarrow K^2 \leq P(6-P) $, dunque il max del modulo del prodotto è dato da $ K^6P^{-P}(6-P)^{P-6} \leq (P(6-P))^3P^{-P}(6-P)^{P-6} = $$ P^{3-P} (6-P)^{P-3} $.
Per P=1,2,3 questa dà $ 5^{-2}, 1/2 $ e 1. Dato che da P abbiamo anche le informazioni sul segno, abbiamo finito (e non sarebbe difficile ricavare il caso di uguaglianza per P=2, che però coinvolge delle radici e non ho voglia di scrivere)


Ciau!
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Messaggio da caino » 05 mar 2008, 21:00

Per me ignorante... come sarebbe la soluzione con Lagrange? E comunque non si potrebbe usare lagrange nelle olimpiadi?

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jordan
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Messaggio da jordan » 05 mar 2008, 22:22

http://www.mathlinks.ro/Forum/viewtopic.php?t=192084
qui puoi trovare il metodo con lagrange (ottimizzazione sotto vincoli) e la mia soluzione olimpica utilizzando solo GM-AM-QM (io sono bboypa) :wink:
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