Disuguaglianza con xy+yx+zx=1

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

presi x,y,z reali positivi diversi da 1 tali che $ xy + yz + zx = 1 $ dimostrare che

$ \displaystyle \frac{x(1-y^2)(1-z^2)+y(1-x^2)(1-z^2)+z(1-x^2)(1-y^2)}{(1-x^2)(1-y^2)(1-z^2)(x^2 + y^2 + z^2) \left ( \frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right ) } \ge \frac{1}{2} $

[salva90]

[perplessità]ma perchè non esiste un problema postato da gabriel il cui testo non faccia inorridire a prima vista?[/perplessità]

[jordan]

forse perchè $ vuole $ farceli sembrare?


$ \displaystyle \sum {\frac{2x}{1-x^2}} \ge (\sum x^2)(\sum {\frac{1}{x}}) $

[Jacobi]

qst e il solito problema fatto per spaventare i "novellini"

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

$ \displaystyle \sum {\frac{2x}{1-x^2}} \ge (\sum x^2)(\sum {\frac{1}{x}}) $

ehm...ma questa è una disuguaglianza nota?

[Ponnamperuma]

Credo fosse solo una riscrittura più "umana" (o presunta tale) della tua consegna!

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

HINT:

quando xy+xz+yz=1 si può sostituire x=cot(A), y=cot(B) e z=cot(C) dove A,B,C sono gli angoli di un tringolo (perchè?).

[karl]

La citazione di Gabriel la conoscevo diversa.
Precisamente :
se A,B,C sono gli angoli di un triangolo ,allora è:
(1) $ \displaystyle \tan\frac{A}{2}\tan\frac{B}{2}+\tan\frac{B}{2}\tan\frac{C}{2}+\tan\frac{C}{2}\tan\frac{A}{2}=1 $
Viceversa se vale la (1) allora è :
$ \displaystyle A+B+C=(2k+1)\pi $
e quindi solo in certi casi vale che $ \displaystyle A+B+C=\pi $
La dimostrazione della (1) è relativamente facile.
karl

[¬[ƒ(Gabriel)³²¹º]¼+½=¾]

si certo infatti ho scambiato tangente con cotangente

p.s. se qualcuno vuele dimostrare la (1) che in effetti è semplice può farlo anche qui

[karl]

La diseguaglianza non è sempre vera.A tale scopo basta ,per es.,prendere
x=1/3,y=1/4 ottenendo così z=11/7
Per tali valori però il primo membro della ineguaglianza risulta negativo
(basta osservare che il numeratore ,a conti fatti, è positivo mentre il
denominatore è negativo per la presenza del fattore
$ \displaystyle 1-z^2=1-\frac{121}{49}=-\frac{72}{49} $)
Forse ci vuole qualche ipotesi supplementare come ad esempio che risulti
$ \displaystyle 0<x,y,z<1 $
karl