Alfa e seni - SNS 1990-1991

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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EUCLA
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Alfa e seni - SNS 1990-1991

Messaggio da EUCLA » 15 feb 2008, 21:10

Trovare il più piccolo numero $ \alpha >1 $ tale che risulti: $ \displaystyle {\frac{\alpha +\sin x}{\alpha +\sin y}}\le e^{y-x} $ per ogni $ x\le y $.

darkcrystal
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Messaggio da darkcrystal » 24 feb 2008, 23:09

Giusto perchè l'ho odiato e tutte le volte che lo riguardo lo sbaglio nello stesso modo prima di rendermi conto che... viewtopic.php?t=5312&highlight=

Ciao!
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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 25 feb 2008, 14:00

Non l'avevo mica visto! Io l'avevo risolto in modo diverso, ma non tanto.

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Goldrake
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Messaggio da Goldrake » 14 mar 2008, 00:14

EUCLA ha scritto:Non l'avevo mica visto! Io l'avevo risolto in modo diverso, ma non tanto.
Ciao Eucla :wink:
Mi interesserebbe conoscere l'altra tua dimostrazione, magari anche qualitativamente (senza che ti metti a fare i procedimenti passo passo, per intenderci :) )
Ciao.

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EUCLA
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Messaggio da EUCLA » 14 mar 2008, 14:08

Se qualcuno la chiede, ben felice di postarla! :wink:

L'idea base, è sfruttare il fatto che per l'ipotesi su $ \displaystyle \alpha $ puoi riscrivere come $ e^{x}({\alpha +\sin{x}})\le e^{y}({\alpha +\sin{y}}) \ (*) $.

Tra lhs e rhs, c'è solo un cambio di variabile, allora consideriamo la funzione $ g(z)=e^{z}(\alpha +\sin{z}) $.
Noi vogliamo un $ \displaystyle \alpha $ tale che la (*) sia sempre vera. Poichè le ipotesi sono di $ x\le y $, allora $ \displaystyle \alpha $ deve "permettere" la crescenza di $ g(z) $.
Poniamo $ g'(z)\ge 0 \rightarrow e^{z}(\alpha+ \sin{z})+ e^z\cos{z}\ge 0 $
Allora $ \alpha \ge -(\sin{z} +\cos{z}) $.

È cosa ben nota, oppure si ricava con le derivate, o con altri metodi più intelligenti, che il massimo del rhs è $ \sqrt{2} $.

Si sostituisce il valore nella disuguaglianza iniziale e si dimostra che è vera. Dunque la soluzione è $ \alpha =\sqrt{2} $.

Ciao! :D

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Goldrake
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Messaggio da Goldrake » 14 mar 2008, 15:08

Perfetto e chiaro :wink:
Grazie, ciao.

Robertopphneimer
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Re:

Messaggio da Robertopphneimer » 19 lug 2012, 15:53

Scusate io non so usare le equazioni differenziali...ma ho pensato che ..non si potrebbe fare :

$ a>e^xsinx-e^ysiny/e^x-e^y $

e cioè $ f(x)= e^xsinx-e^ysiny/e^x-e^y $ e fare la derivata e vedere il punto massimo??
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ant.py
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Re: Re:

Messaggio da ant.py » 19 lug 2012, 16:58

Robertopphneimer ha scritto:Scusate io non so usare le equazioni differenziali...ma ho pensato che ..non si potrebbe fare :

$ a>e^xsinx-e^ysiny/e^x-e^y $

e cioè $ f(x)= e^xsinx-e^ysiny/e^x-e^y $ e fare la derivata e vedere il punto massimo??

La tua f(x) presenta due variabili, x e y :-P l'idea delle derivate si può sfruttare, appunto come descritto da EUCLA
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Re: Alfa e seni - SNS 1990-1991

Messaggio da Robertopphneimer » 19 lug 2012, 20:13

io ho trocvato una spiegazione più...semplice ecco xDD .
Ho scritto la funzione $ g(x) = e^z(a+sin(z)) =e^y(siny)-e^x(sinx) >0 $
perciò essendo per forza positiva
anche la derivata $ e^z (a+sinz)+e^z(cosz) > 0 $ e si torna allo stesso ragionamento di Eucla.
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Re: Alfa e seni - SNS 1990-1991

Messaggio da Robertopphneimer » 19 lug 2012, 20:21

ant.py ha scritto:
La tua f(x) presenta due variabili, x e y :-P l'idea delle derivate si può sfruttare, appunto come descritto da EUCLA
si appunto..dovrei gestire le equazioni differenziali...qualcuno sa qualche topic che ne parla in modo veloce?? qualche cosina su cui studiare le differenziali?? Mi sto accorgendo che ne ho sempre più bisogno!
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trugruo
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Re: Alfa e seni - SNS 1990-1991

Messaggio da trugruo » 20 lug 2012, 19:52

fidati, le differenziali non c'entrano niente con quello che ti serve per quest'esercizio
poi qualce funzioni scrivi? g(x) per come l'hai definita non dipende da x ma da z e poi compaiono x e y da dove?

Robertopphneimer
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Re: Alfa e seni - SNS 1990-1991

Messaggio da Robertopphneimer » 21 lug 2012, 09:43

sdarebbe g(z)= g(x)-g(y) però stavo pensando che hai ragione...me le sono guardate un attimo..diciamo che si può fare con le derivate parziali!
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