Tutti sanno (almeno su questo forum) che l'$ n $-mo numero di Fibonacci e' dato dalla formula chiusa
$
\displaystyle{
F_n= \frac{\sqrt{5}}{5}\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n
-\frac{\sqrt{5}}{5}\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n
$
Definiamo allora una successione tipo Fibonacci nel seguente modo:
$ \{a_n\}_{n\geq 1}=\{1,2,1,2,1,\dots\} $
$ A_1=1; \qquad A_2=1;\qquad A_{n}=a_n A_{n-1}+A_{n-2} $
Trovare una formula chiusa per $ A_n $. (facile, ma per un pigro pomeriggio domenicale puo' andare...)
Tipo Fibonacci
Tipo Fibonacci
I'm the best there is at what I do. But what I do best isn't very nice.
ci provo anche se odio le successioni all'ennesima potenza 
si nota che $ A_{2n+2}=2A_{2n+1}+A_{2n}= $$ 2(A_{2n}+(\frac{A_{2n}-A_{2n-1}}{2}))+A_{2n}=4A_{2n}-A_{2n-2} $, definiamo quindi la successione $ B_{n}=A_{2n} $ con $ B_1=1, B_2=A_4=5, B_{n+1}=4B_n-B_{n-1} $, come al solito troviamo le radici di $ t^2-4t+1 $ e imponendo il sistema troviamo facilmente una formula per tutti i $ B_n $, cioè: $ \displaystyle B_n=A_{2n}=\frac{1}{2}[ (\sqrt3-1)(2+\sqrt3)^n-(\sqrt3+1)(2-\sqrt3)^n] $
a questo punto mancherebbero gli $ A_{2n-1} $ ma dalle ipotesi abbiamo che $ 2A_{2n-1}=A_{2n}-A_{2n-2}\implies $$ \displaystyle A_{2n-1}=\frac{1}{2}[(2+\sqrt3)^{n-1}+(2-\sqrt3)^{n-1}] $
o se vogliamo la formula unica:
$ \dislaystyle A_n=(\frac{\sqrt3}{4}+(\frac{\sqrt3-2}{4})(-1)^n)(2+\sqrt3)^{[\frac{n}{2}]}- $$ \displaystyle (\frac{\sqrt3}{4}+(\frac{\sqrt3+2}{4})(-1)^n)(2-\sqrt3)^{[\frac{n}{2}]} $
un saluto a wolverine
si nota che $ A_{2n+2}=2A_{2n+1}+A_{2n}= $$ 2(A_{2n}+(\frac{A_{2n}-A_{2n-1}}{2}))+A_{2n}=4A_{2n}-A_{2n-2} $, definiamo quindi la successione $ B_{n}=A_{2n} $ con $ B_1=1, B_2=A_4=5, B_{n+1}=4B_n-B_{n-1} $, come al solito troviamo le radici di $ t^2-4t+1 $ e imponendo il sistema troviamo facilmente una formula per tutti i $ B_n $, cioè: $ \displaystyle B_n=A_{2n}=\frac{1}{2}[ (\sqrt3-1)(2+\sqrt3)^n-(\sqrt3+1)(2-\sqrt3)^n] $
a questo punto mancherebbero gli $ A_{2n-1} $ ma dalle ipotesi abbiamo che $ 2A_{2n-1}=A_{2n}-A_{2n-2}\implies $$ \displaystyle A_{2n-1}=\frac{1}{2}[(2+\sqrt3)^{n-1}+(2-\sqrt3)^{n-1}] $
o se vogliamo la formula unica:
$ \dislaystyle A_n=(\frac{\sqrt3}{4}+(\frac{\sqrt3-2}{4})(-1)^n)(2+\sqrt3)^{[\frac{n}{2}]}- $$ \displaystyle (\frac{\sqrt3}{4}+(\frac{\sqrt3+2}{4})(-1)^n)(2-\sqrt3)^{[\frac{n}{2}]} $
un saluto a wolverine
The only goal of science is the honor of the human spirit.