Trovare tutte le coppie di numeri reali che verificano l'equazione
$ a^3+3ab+1=b^3 $
a^3+3ab+1=b^3
a^3+3ab+1=b^3
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...
io ho provato a risolverlo facendo così:
$ a^3+3ab+1)=b^3 \rightarrow a(a^2+3b)=(b-1)(b^2+b+1) $
allora io imposto due sistemi:
$ \begin {array}{l} a=b-1\\ a^2+3b=b^2+b+1\\ \end{array} $
e
$ \begin {array}{l} a^2+3b=b-1\\ a=b^2+b+1\\ \end {array} \right $
ma mi viene nel primo (il secondo non lo ho provato perchè mi venivano cose di quarto grado)
che le soluzioni erano $ (a,b)=(-1,b) $ ma provando a sostituire nel testo non funzionava.....
dove ho sbagliato?
$ a^3+3ab+1)=b^3 \rightarrow a(a^2+3b)=(b-1)(b^2+b+1) $
allora io imposto due sistemi:
$ \begin {array}{l} a=b-1\\ a^2+3b=b^2+b+1\\ \end{array} $
e
$ \begin {array}{l} a^2+3b=b-1\\ a=b^2+b+1\\ \end {array} \right $
ma mi viene nel primo (il secondo non lo ho provato perchè mi venivano cose di quarto grado)
che le soluzioni erano $ (a,b)=(-1,b) $ ma provando a sostituire nel testo non funzionava.....
dove ho sbagliato?
fin qui va bene...gian92 ha scritto: $ a^3+3ab+1=b^3 \Longleftrightarrow a(a^2+3b)=(b-1)(b^2+b+1) $
ma perchè mai dovrebbe essere per forza:
??gian92 ha scritto: allora io imposto due sistemi:
$ \begin {array}{l} a=b-1\\ a^2+3b=b^2+b+1\\ \end{array} $
e
$ \begin {array}{l} a^2+3b=b-1\\ a=b^2+b+1\\ \end {array} \right $
"Il fatto che un'opinione sia ampiamente condivisa, non è affatto una prova che non sia completamente assurda" B. Russell
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g(n)
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Io l'ho risolto così..provando qualche caso a mano si vede che funzionano le coppie del tipo $ (c,c+1), c \in \mathbb R $. Allora poniamo $ b=a+k $ e sviluppiamo, sperando di ottenere come soluzione $ k=1 $ e ridurre di grado l'equazione. Dopo alcuni passaggi si ottiene
$ (1-k)(3a^2+3ak+1+k+k^2)=0 $
e quindi $ k=1 $ è sempre soluzione, cioè abbiamo trovato le coppie $ (c,c+1) $.
Consideriamo ciò che rimane come un'equazione di secondo grado in $ k $:
$ k^2+(1+3a)k+1+3a^2=0 $
Affinchè questa abbia soluzioni reali deve essere $ \Delta \geq 0 $:
$ (1+3a)^2-4(1+3a^2)\geq 0 \Leftrightarrow -3a^2+6a-3 \geq 0 $$ \Leftrightarrow (a-1)^2\leq 0 \Leftrightarrow a=1 $
da cui si ottiene $ a=1, k=-2\Rightarrow b=-1 $
In conclusione risolvono l'equazione tutte le coppie del tipo $ (c,c+1), c\in \mathbb R $ più la coppia $ (1,-1) $.
Ciao
$ (1-k)(3a^2+3ak+1+k+k^2)=0 $
e quindi $ k=1 $ è sempre soluzione, cioè abbiamo trovato le coppie $ (c,c+1) $.
Consideriamo ciò che rimane come un'equazione di secondo grado in $ k $:
$ k^2+(1+3a)k+1+3a^2=0 $
Affinchè questa abbia soluzioni reali deve essere $ \Delta \geq 0 $:
$ (1+3a)^2-4(1+3a^2)\geq 0 \Leftrightarrow -3a^2+6a-3 \geq 0 $$ \Leftrightarrow (a-1)^2\leq 0 \Leftrightarrow a=1 $
da cui si ottiene $ a=1, k=-2\Rightarrow b=-1 $
In conclusione risolvono l'equazione tutte le coppie del tipo $ (c,c+1), c\in \mathbb R $ più la coppia $ (1,-1) $.
Ciao
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Simo_the_wolf
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Re: a^3+3ab+1=b^3
ecco dove ho sbagliato....fede90 ha scritto:Trovare tutte le coppie di numeri reali
Re: a^3+3ab+1=b^3
altrimenti lo avresti trovato in tdn...gian92 ha scritto:ecco dove ho sbagliato....fede90 ha scritto:Trovare tutte le coppie di numeri reali
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui