a^3+3ab+1=b^3

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
Rispondi
fede90
Messaggi: 287
Iscritto il: 04 apr 2007, 21:36
Località: Udine

a^3+3ab+1=b^3

Messaggio da fede90 » 06 feb 2008, 11:40

Trovare tutte le coppie di numeri reali che verificano l'equazione

$ a^3+3ab+1=b^3 $
Bene, prendiamo un pentagono di [tex]$n$[/tex] lati...

Avatar utente
gian92
Messaggi: 558
Iscritto il: 12 nov 2007, 13:11
Località: roma

Messaggio da gian92 » 06 feb 2008, 16:34

io ho provato a risolverlo facendo così:
$ a^3+3ab+1)=b^3 \rightarrow a(a^2+3b)=(b-1)(b^2+b+1) $
allora io imposto due sistemi:
$ \begin {array}{l} a=b-1\\ a^2+3b=b^2+b+1\\ \end{array} $
e
$ \begin {array}{l} a^2+3b=b-1\\ a=b^2+b+1\\ \end {array} \right $
ma mi viene nel primo (il secondo non lo ho provato perchè mi venivano cose di quarto grado)
che le soluzioni erano $ (a,b)=(-1,b) $ ma provando a sostituire nel testo non funzionava.....
dove ho sbagliato?

Avatar utente
Russell
Messaggi: 148
Iscritto il: 23 ago 2007, 16:22
Località: Verona

Messaggio da Russell » 06 feb 2008, 17:04

gian92 ha scritto: $ a^3+3ab+1=b^3 \Longleftrightarrow a(a^2+3b)=(b-1)(b^2+b+1) $
fin qui va bene...

ma perchè mai dovrebbe essere per forza:
gian92 ha scritto: allora io imposto due sistemi:
$ \begin {array}{l} a=b-1\\ a^2+3b=b^2+b+1\\ \end{array} $
e
$ \begin {array}{l} a^2+3b=b-1\\ a=b^2+b+1\\ \end {array} \right $
??
"Il fatto che un'opinione sia ampiamente condivisa, non è affatto una prova che non sia completamente assurda" B. Russell

fph
Site Admin
Messaggi: 3693
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: in giro
Contatta:

Messaggio da fph » 06 feb 2008, 17:54

Cosa vuol dire per te "trovare"? Scrivere una formula chiusa parametrica?
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

g(n)
Messaggi: 109
Iscritto il: 14 ott 2007, 19:24
Località: Codroipo, il paese più anagrammato d'Italia

Messaggio da g(n) » 06 feb 2008, 17:57

Io l'ho risolto così..provando qualche caso a mano si vede che funzionano le coppie del tipo $ (c,c+1), c \in \mathbb R $. Allora poniamo $ b=a+k $ e sviluppiamo, sperando di ottenere come soluzione $ k=1 $ e ridurre di grado l'equazione. Dopo alcuni passaggi si ottiene
$ (1-k)(3a^2+3ak+1+k+k^2)=0 $
e quindi $ k=1 $ è sempre soluzione, cioè abbiamo trovato le coppie $ (c,c+1) $.
Consideriamo ciò che rimane come un'equazione di secondo grado in $ k $:
$ k^2+(1+3a)k+1+3a^2=0 $
Affinchè questa abbia soluzioni reali deve essere $ \Delta \geq 0 $:
$ (1+3a)^2-4(1+3a^2)\geq 0 \Leftrightarrow -3a^2+6a-3 \geq 0 $$ \Leftrightarrow (a-1)^2\leq 0 \Leftrightarrow a=1 $
da cui si ottiene $ a=1, k=-2\Rightarrow b=-1 $
In conclusione risolvono l'equazione tutte le coppie del tipo $ (c,c+1), c\in \mathbb R $ più la coppia $ (1,-1) $.
Ciao :D

Simo_the_wolf
Moderatore
Messaggi: 1037
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Pescara

Messaggio da Simo_the_wolf » 07 feb 2008, 01:51

Ah fattorizzare che piacere

$ x^3+y^3+z^3-3xyz = (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) $

Quindi $ x^3+y^3+z^3=3xyz $ se e solo se $ x+y+z=0 $ oppure $ x=y=z $

Ora mettiamo $ x=a $, $ y=-b $ e $ z=1 $. Cosa viene??

$ a^3-b^3+1=-3ab $ se e solo se $ a-b+1=0 $ oppure $ a=-b=1 $

Fine.

Avatar utente
gian92
Messaggi: 558
Iscritto il: 12 nov 2007, 13:11
Località: roma

Messaggio da gian92 » 07 feb 2008, 13:57

fph ha scritto:Cosa vuol dire per te "trovare"? Scrivere una formula chiusa parametrica?
pensavo si facesse come con le diofantee...
si scompone tutto in fattori primi e si impostano i sistemi dai quali si ricavano le incognite...

Avatar utente
gian92
Messaggi: 558
Iscritto il: 12 nov 2007, 13:11
Località: roma

Re: a^3+3ab+1=b^3

Messaggio da gian92 » 08 feb 2008, 13:57

fede90 ha scritto:Trovare tutte le coppie di numeri reali
ecco dove ho sbagliato....

Avatar utente
angus89
Messaggi: 281
Iscritto il: 28 ott 2006, 10:12

Re: a^3+3ab+1=b^3

Messaggio da angus89 » 08 feb 2008, 18:33

gian92 ha scritto:
fede90 ha scritto:Trovare tutte le coppie di numeri reali
ecco dove ho sbagliato....
altrimenti lo avresti trovato in tdn...
Alla fine del diciannovesimo secolo, un matematico straordinario,Cantor, languiva in un manicomio... Più si avvicinava alle risposte che cercava, più esse sembravano allontanarsi. Alla fine impazzì, come altri matematici prima di lui

Rispondi