Da Cese2013 con furore

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Maionsss
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Da Cese2013 con furore

Messaggio da Maionsss » 16 giu 2019, 23:42

Buonasera a tutti , qualcuno potrebbe aiutarmi a risolvere il seguente problema ?? :D

Sia $p>1$ un numero reale e $x_n$ una successione definita nel seguente modo :$x_0=\frac{1}{p}$ e $ x_{n+1}=2x_n\sqrt{1-x_n^2}$. Qual è il più grande valore di $p$ tale che $x_{12}=x_0$ ?

fph
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Re: Da Cese2013 con furore

Messaggio da fph » 17 giu 2019, 11:48

Non serve a molto se metti il testo del problema in uno spoiler, vuol dire solo costringere tutti a un clic in più non necessario. :) Ho editato il tuo post per toglierlo.
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Maionsss
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Re: Da Cese2013 con furore

Messaggio da Maionsss » 17 giu 2019, 12:19

Hai perfettamente ragione :lol:
Sto imparando a utilizzare bene latex quindi quando posso mi addentro nelle sue funzioni più "nascoste" :D :lol:

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Leonhard Euler
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Re: Da Cese2013 con furore

Messaggio da Leonhard Euler » 17 giu 2019, 12:56

Testo nascosto:
Per dare significato a quella radice deve valere per ogni $ n $: $ -1\leq x_n\leq1 $. Definisco quindi una nuova sequenza $ a_n $ che soddisfi $ x_n=\sin a_n $, sostituendo nella relazione del testo:
$ x_{n+1}=2x_n\sqrt{1-x_n^2} $$ \implies $$ \sin a_{n+1}=2\sin a_n\sqrt{1-\sin a_n^2}=2\sin a_n\cos a_n=\sin 2a_n $
Da cui segue $ a_{n+1}=2a_n $$ \implies $$ a_n=2^na_0 $. La formula esplicita per la successione del testo è quindi: $ x_n=\sin 2^na_0 $.
Da qui puoi concludere da solo, l'osservazione chiave era quella di effettuare la sostituzione in termini degli $ a_n $.
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)

Maionsss
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Re: Da Cese2013 con furore

Messaggio da Maionsss » 19 giu 2019, 12:32

Grazie mille e complimenti per la soluzione :)

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