Disuguaglianza

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Leonhard Euler
Messaggi: 42
Iscritto il: 01 gen 2018, 15:12

Disuguaglianza

Messaggio da Leonhard Euler »

Provare:
$\sqrt {\frac{{{a^3} + 2bc + 3}}{{{b^3} + {c^3} + 2a\left( {b + c} \right)}}} + \sqrt {\frac{{{b^3} + 2ca + 3}}{{{c^3} + {a^3} + 2b\left( {c + a} \right)}}} + \sqrt {\frac{{{c^3} + 2ab + 3}}{{{a^3} + {b^3} + 2c\left( {a + b} \right)}}} \ge 3$
Data la condizione ${a^2} + {b^2} + {c^2} = 3$
« [...] ha cessato di calcolare e di vivere. » (Eulogia di Eulero)
MatteD
Messaggi: 5
Iscritto il: 16 gen 2020, 20:01

Re: Disuguaglianza

Messaggio da MatteD »

Soluzione:
Testo nascosto:
Sia [math], [math], [math] e [math], quindi [math].
Per Hölder, [math], quindi [math].
Inoltre, per [math] si ha [math], quindi [math].
Da ciò segue [math], quindi è sufficiente dimostrare [math], cioè [math].
Usando la definizione di [math] e il vincolo, quest'ultima disuguaglianza si può riscrivere come [math].
Distinguiamo quindi due casi:
1) [math]:
Consideriamo il polinomio [math]. Chiaramente [math], in quanto [math], quindi [math].
E' perciò sufficiente dimostrare [math], che è vera (poiché [math] per [math]).
2) [math]
Ovviamente si ha [math], quindi [math].
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