Algebra - preIMO 2017

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
sg_gamma
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Algebra - preIMO 2017

Messaggio da sg_gamma » 17 giu 2018, 17:37

Salve! Nel trascrivere le soluzioni per l'ammissione al Senior, mi è sorto qualche dubbio sul terzo problema di Algebra del preIMO 2017.
Innanzitutto, nel video viene "omesso" un passaggio: per dimostrare che la sommatoria vale viene preso in considerazione un polinomio di un certo grado d<m e i valori che questo assume per certi x: fa poi notare che Q(x) = P(x+1) - P(x) risulta di un grado inferiore per cui, reiterando questa operazione, si giunge a un polinomio di grado 0 e infine al polinomio nullo: l'aspetto di questo polinomio nullo può essere espresso, nel caso di un polinomio di secondo grado, come P(3) – 3P(2) + 3P(1) – P(0) = 0 e, in generale, come una sommatoria corrispondente a quella data i cui coefficienti sono gli stessi del triangolo di Tartaglia. Io ho notato che il numero di sottrazioni corrisponde a d+1 e (seppur non trascritto) che "graficamente" il risultato è proprio un triangolo, ma come si può dimostrare formalmente il valore dei vari coefficienti e far sì che coincidano con quelli della sommatoria data?

Piccola curiosità disgiunta: ho trascritto il 7 secondo la soluzione data, ma non ho potuto che chiedermi: come mai il semplice notare che l'integrale corrisponde al valore massimo di E e che anch'esso è minore di 2 non è ritenibile una soluzione accettabile?

Talete
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Re: Algebra - preIMO 2017

Messaggio da Talete » 18 giu 2018, 11:20

sg_gamma ha scritto:
17 giu 2018, 17:37
come si può dimostrare formalmente il valore dei vari coefficienti e far sì che coincidano con quelli della sommatoria data?
Questo è esattamente il lavoro che tu devi fare per essere ammesso al senior. Nessuno qui ti risponderà. Buon lavoro!
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sg_gamma
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Re: Algebra - preIMO 2017

Messaggio da sg_gamma » 18 giu 2018, 13:45

Perfetto, grazie dell'ispirazione! Credo di aver dato una dimostrazione soddisfacente (anche se temo per la sua formalità: è possibile discuterne sul topic?). Cosa puoi dirmi sulla curiosità?

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Lasker
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Re: Algebra - preIMO 2017

Messaggio da Lasker » 18 giu 2018, 14:13

Dovrebbe essere lecito chiedere aiuto su alcuni dettagli nel forum, personalmente Sam mi ha risposto un po' di volte quando avevo dei grossi problemi a dimostrare un lemma corposo dato per scontato nel video. Però in generale aspettati più degli hint da capire con calma che delle risposte complete (qui probabilmente se ne discuti privatamente assieme ad un amico che prova il senior con te rimani nel legittimo e riesci ad andare più a fondo con i dettagli).

Credo che tu non possa usare gli integrali perché verrebbe meno lo scopo dell'esercizio... Più o meno gli esercizi del senior servono ad allenarti ad affrontare problemi da "gara internazionale" e ad insegnarti tecniche riciclabili, e gli integrali non capitano proprio alle gare (oltre a richiedere un pezzo di teoria e formalismo abbastanza più grosso della maggior parte delle tecniche olimpiche, non presente nei video del senior né sulle schede), insomma sono un po' fuori luogo.

Il correttore di Algebra potrà darti i suoi motivi senza dover indovinare (o magari dirti che invece per lui gli integrali sono ok purché ci siano le verifiche opportune, chissà)
"Una funzione generatrice è una corda da bucato usata per appendervi una successione numerica per metterla in mostra" (Herbert Wilf)

"La matematica è la regina delle scienze e la teoria dei numeri è la regina della matematica" (Carl Friedrich Gauss)

Sensibilizzazione all'uso delle potenti Coordinate Cartesiane, possano seppellire per sempre le orride baricentriche corruttrici dei giovani: cur enim scribere tre numeri quando se ne abbisogna di due?

PRIMA FILA TUTTI SBIRRI!

sg_gamma
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Re: Algebra - preIMO 2017

Messaggio da sg_gamma » 18 giu 2018, 16:06

Si può dare per scontato che un certo numero nel triangolo di Tartaglia sia individuato da un coefficiente binomiale?

Maionsss
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Re: Algebra - preIMO 2017

Messaggio da Maionsss » 19 giu 2018, 22:17

Io penso di sì perché è una proprietà del triangolo di tartaglia: il [math] - esimo numero all' [math]- esima riga è dato dal binomiale [math]

Ilgatto
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Re: Algebra - preIMO 2017

Messaggio da Ilgatto » 21 giu 2018, 20:43

Sto cercando di risolvere il terzo esercizio di algebra di ammissione al senior, ma non riesco a capire la soluzione spiegata o meglio mi perdo quando usa la funzione generatrice. Non ho idea di cosa sia e da dove venga e anche cercando non riesco a trovare niente che riesco ad applicare. Ho trovato la definizione di funzione generatrice ma oltre a quello poco altro. Qualcuno potrebbe gentilmente spiegare come e perchè le usa nella soluzione? In alternativa (visto che potrebbe essere come farsi risolvere il problema) si potrebbe avere qualcosa che spieghi bene cosa sia una funzione generatrice e come usarla?

Maionsss
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Re: Algebra - preIMO 2017

Messaggio da Maionsss » 21 giu 2018, 22:47

Non avendo trovato il problema a cui fai riferimento provo a spiegare brevemente il concetto di funzione generatrice.
Testo nascosto:
In realtà la definizione di funzione generatrice è abbastanza semplice e immediata, sono le sue applicazioni ad essere un po' complicate.
Comunque sia..... Definiamo con $ a_0,a_1,a_2... $ una succesione (eventualmente infinita). La sua corrispondente funzione generatrice sarà $ a_0+a_1x+a_2x^2+.......a_nx^n $. Possiamo dunque considerare la funzione generatrice non come una vera e propria funzione, ma come una serie infinita di potenze, una collezione di coefficienti ( per citare Lasker :wink:) , in quanto i coefficienti della funzione generatrice sono proprio i termini della nostra successione di partenza.
Comunque se mi dai indicazioni su dove trovare il problema vedo se riesco a dirti qualcosa in più (malgrado sia ancora abbastanza inesperto sull'argomento) :D.

Ilgatto
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Re: Algebra - preIMO 2017

Messaggio da Ilgatto » 22 giu 2018, 00:09

Ok, alla definizione ci sono e non è un problema. Come dici tu le applicazioni sono complicate. Finchè si tratta di $\sum_{a=0}^{\infty}x^a=\frac{1}{1-x}$ seguo ancora e ho capito più o meno quando posso usarla, ma per quasi tutte le altre non ho capito granchè. Il testo del problema lo trovi qui:
http://olimpiadi.dm.unibo.it/videolezio ... IMO_17.pdf
Mentre se vuoi la soluzione è scritta qui:
http://olimpiadi.dm.unibo.it/videolezio ... _17-AM.pdf
Anche ascoltando la spiegazione che viene data nel video non capisco bene cosa intenda e come tiri fuori la derivata

Maionsss
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Re: Algebra - preIMO 2017

Messaggio da Maionsss » 22 giu 2018, 00:27

Appena trovo un po' di tempo per ascoltare la videosoluzione ti faccio sapere qualcosa :D ( in questi giorni sono a Londra quindi non ho sempre carta e penna a portata di mano)

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Re: Algebra - preIMO 2017

Messaggio da Drago96 » 22 giu 2018, 11:04

Ilgatto ha scritto:
21 giu 2018, 20:43
Sto cercando di risolvere il terzo esercizio di algebra di ammissione al senior, ma non riesco a capire la soluzione spiegata o meglio mi perdo quando usa la funzione generatrice. Non ho idea di cosa sia e da dove venga e anche cercando non riesco a trovare niente che riesco ad applicare. Ho trovato la definizione di funzione generatrice ma oltre a quello poco altro. Qualcuno potrebbe gentilmente spiegare come e perchè le usa nella soluzione? In alternativa (visto che potrebbe essere come farsi risolvere il problema) si potrebbe avere qualcosa che spieghi bene cosa sia una funzione generatrice e come usarla?
Intanto ti linko il posto dove studiare le generatrici: https://www.math.upenn.edu/~wilf/gfology2.pdf
Comunque direi che servono per una soluzione alternativa, al massimo puoi scrivere quella precedente...
Per la derivata: non è davvero necessaria, quella è una formula nota che ci si può ricavare anche combinatoricamente (c'è sul Wilf da qualche parte)
Infine, lascia un attimo perdere i conti e prova a capire quale sia l'idea dietro tutto
Imagination is more important than knowledge. For knowledge is limited, whereas imagination embraces the entire world, stimulating progress, giving birth to evolution (A. Einstein)

bananamaths
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Re: Algebra - preIMO 2017

Messaggio da bananamaths » 22 giu 2018, 13:54

Ne aprofitto per chiedere una cosa anche nel esrcizio algebra 5 ce da dimostrare una disuguaglianza la funzione che poi si considera però e convessa fino ac un certo punto e concav per altri punti. Ora per con la parte convessa utilizzo la disunguglianxa di jensen ma quando la parte diventa concava significa che la disuguaglianza non vale più?

Ilgatto
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Re: Algebra - preIMO 2017

Messaggio da Ilgatto » 22 giu 2018, 16:21

@Drago96: provo a cambiare approccio allora e se non arrivo a una conclusione vedo di capire quella con le generatrici. In ogni caso ti ringrazio per la risposta

sg_gamma
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Re: Algebra - preIMO 2017

Messaggio da sg_gamma » 23 giu 2018, 17:42

Maionsss ha scritto:
19 giu 2018, 22:17
Io penso di sì perché è una proprietà del triangolo di tartaglia: il [math] - esimo numero all' [math]- esima riga è dato dal binomiale [math]
Era quanto presumessi anch'io, ma devo ammettere che vedere dimostrati nei video del preIMO teoremi la cui dimostrazione è in bella vista su Wikipedia (per esempio, il criterio di Eulero in TdN 8 ) mi fa dubitare tantissimo di cosa possa dare per scontato e cosa invece no.

Marco Tregeni
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Re: Algebra - preIMO 2017

Messaggio da Marco Tregeni » 03 lug 2018, 18:05

Salve, qualcuno potrebbe spiegarmi lo solgimento di questa disequazione con il metodo bunching+Schur?
[math]

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