Problema 3 - Gara a squadre Cesenatico 2017

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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nicolasromanella
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Problema 3 - Gara a squadre Cesenatico 2017

Messaggio da nicolasromanella » 20 mar 2018, 19:04

Un libro contiene tutte le parole di 2015 lettere, composte da esattamente 13 'A' e 2002 'B'. In ogni pagina tranne l'ultima ci sono esattamente 2017 parole. Quante parole ci sono nell'ultima pagina del libro?

Il numero di pagine è dato dal resto della divisione del coefficiente binomiale di 2015 su 13 e 2017, data la relazione:
$ 2017k+p=(2015!)/(2002!13!) $

Il problema è trovare il nostro resto $ p $. Soluzioni?

Perdonate l'incapacità di scrivere formalmente e in maniera elegante, sono nuovo sul forum. :D

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Drago96
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Re: Problema 3 - Gara a squadre Cesenatico 2017

Messaggio da Drago96 » 20 mar 2018, 19:27

Ciao e benvenuto! :)
Intanto puoi semplificare quel $2002!$, e arrivare a $\frac{2015\cdot2014\cdots2003}{13!}$.
Adesso c'è il megatrucco: scrivi $2015=2017-2,\dots,2003=2017-14$. Ti aiuta in qualche modo?
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nicolasromanella
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Re: Problema 3 - Gara a squadre Cesenatico 2017

Messaggio da nicolasromanella » 20 mar 2018, 20:27

A questo punto penso che $ 13! $ sia irrilevante, poiché comunque il prodotto al numeratore darà resto $ p $ se diviso per $ 2017 $. Riscrivendo le date otteniamo $ (2017-2)(2017-3)···(2017-14) $. Ogni termine dell'espressione ottenuta per risoluzione dei prodotti sarà divisibile per $ 2017 $, tranne $ 2·3···14=14! $. Un'altra idea che mi passa per la testa è quella di dividere il presunto resto $ 14! $ per $ 13! $, in modo da ottenere $ -14 $, congruo a $ 2003 $ in modulo 2017. Non sono molto elegante nella formulazione.

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