Facile, ma comunque bello

Polinomi, disuguaglianze, numeri complessi, ...
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Gerald Lambeau
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Facile, ma comunque bello

Messaggio da Gerald Lambeau » 20 set 2017, 15:56

Sia $f(x)=\tan{x}+p(x)$ dove $p(x)$ è un polinomio a coefficienti reali.
Dimostrare che esistono infiniti $x$ reali tali che $f(x)=0$.
"Non ho rispetto per i miei superiori, figurati se ho rispetto per i miei pari: il rispetto di un uomo lo merita solo chi è a lui inferiore."
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GiOvy_27_13
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Re: Facile, ma comunque bello

Messaggio da GiOvy_27_13 » 20 set 2017, 19:36

Ci provo:
Testo nascosto:
Chiamiamo [math], quindi la tesi diventa dimostrare che
[math]
ha infinite soluzioni in [math].

Ora, osserviamo che la funzione [math] tra [math] e [math] assume tutti i valori di [math] in [math]. Dato che [math] è un polinomio, la sua curva è continua e quindi tra [math] e [math] intersecherà (almeno) una volta la funzione [math]. Discorso analogo vale per tutti gli altri intervalli di ampiezza [math] precedenti e successivi, infatti si può dire che [math] taglia il piano in parti di ampiezza [math] e la curva di [math] "è costretta", per passare da una parte alla successiva,ad intersecare [math].
Intersecando [math] in infiniti punti, [math] ha infinite soluzini e da qui ho la tesi.
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Gerald Lambeau
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Re: Facile, ma comunque bello

Messaggio da Gerald Lambeau » 20 set 2017, 19:54

Quasi perfetta. In realtà, anche $\tan{x}+1$ è continua come il polinomio $q(x)$, ma $\tan{x}+1=\tan{x}$ non ha molte speranza di avere soluzioni; quindi ti servirà un'ipotesi in più rispetto alla continuità che il polinomio ha ma la funzione traslata che ti ho detto no. Se ci pensi, è una scemenza.
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Vinci
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Re: Facile, ma comunque bello

Messaggio da Vinci » 21 set 2017, 11:53

Viene anche applicando il teorema degli zeri (non direttamente) all'interno dell' intervallo $\left[\dfrac{(2k-1)\pi}{2}; \dfrac{(2k+1)\pi}{2} \right]$ con $k\in \mathbb{Z}$ perchè: dato che $f(x)$ è continua in quanto somma di funzioni continue, si ha che $$\lim_{x \rightarrow {-\frac{\pi}{2}}^+} f(x)=-\infty \\ \lim_{x \rightarrow {\frac{\pi}{2}}^-} f(x)=+\infty$$ e quindi esisteranno in ogni intervallo come sopra $a$ e $b$ reali con $a<b$ tali che $f(a)<0$ e $f(b)>0$. Per il teorema degli zeri in ognuno di quegli (infiniti) intervalli c'è almeno uno zero.

Gerald Lambeau
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Re: Facile, ma comunque bello

Messaggio da Gerald Lambeau » 21 set 2017, 14:50

Così è come l'ho fatto io, ma siccome son pignolo mi sono anche messo a mostrare che il limite c'è (ad esempio $\tan{x}-(\tan^2{x}+1)$ ha le stesse caratteristiche che nomini tu, ma non è abbastanza per dire che ha i limiti detti, infatti è sempre negativa quella roba).
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Vinci
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Re: Facile, ma comunque bello

Messaggio da Vinci » 21 set 2017, 15:41

Sisi, mi scocciavo di scriverlo, comunque $p\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ e $p\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)$ sono due numeri reali e $\tan x$ va a $-\infty$ a ${-\dfrac{\pi}{2}}^+$ e va a $+\infty$ a ${\dfrac{\pi}{2}}^-$

Gerald Lambeau
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Re: Facile, ma comunque bello

Messaggio da Gerald Lambeau » 21 set 2017, 15:51

Ok, direi che va bene.
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