[MNO] La matematica serve!

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Ciao.
<BR>
<BR>Classifico questo problema nella categoria \"Non Solo Mate\" per non fare arrabbiare MindFlyer, dato che è sicuramente fuori l\'ambito della matematica olimpica; niente però che richieda oltre di sei mesi di università.
<BR>
<BR>Non è un problema che abbia qualche particolarità matematica di rilievo, ma è interessante perché mi è capitato di doverlo risolvere per motivi di lavoro: ebbene sì, qualche volta la matematica si usa anche nel mondo \"reale\"... Penso che qualcuno di voi possa essere interessato.
<BR>
<BR>Ad ogni modo, eccovelo.
<BR>
<BR>-----------------------
<BR>
<BR>Sia rho un numero reale compreso tra +/-1. (a rigore sarebbe estremi esclusi, ma non è molto rilevante)
<BR>Sia N un intero >= 2. Si determini il range massimale di valori di rho per cui la matrice N x N che ha 1 sulla diagonale e rho altrove sia [semi]definita positiva.
<BR>
<BR>-----------------------
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."

fph
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Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

wow, uno che posso risolvere anch\'io senza \"rubare il lavoro\" a chi deve allenarsi per le olimpiadi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>Questa matrice e\' un polinomio nella \"matrice di shift\" S:
<BR>0 1 .. 0
<BR> 0 1 .. 0
<BR> 0 1 .. 0
<BR>... ...
<BR>0 .. 01
<BR>1 .. 0
<BR>che si diagonalizza con una matrice W che ha come autovalori le radici n-esime di 1 (perche\' e\' la \"companion matrix\" del polinomio x^n-1) (e\' la matrice di Fourier, quella della FFT)
<BR>Quindi, la matrice del testo e\'
<BR>
<BR>1+rho(S+S^2+..+S^{n-1})=p(S),
<BR>
<BR>e i suoi autovalori sono p(w_i) per le radici n-esime dell\'unita\' (prendiamo gli autovettori di S, infiliamoli nell\'espressione qui sopra e otterremo che sono autovettori anche per la matrice del testo...)
<BR>Quindi, un autovalore e\' (n-1)rho+1, e gli altri sono tutti 1-rho (perche\' rho(1+w+w^2+..+w^{n-1}=0 sulle radici n-esime dell\'unita\'). Imponiamo che siano tutti positivi, et voila:
<BR>-1/(n-1)<rho<1
<BR></font>
<BR>ciao,
<BR>--federico
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: fph il 13-01-2005 11:15 ]
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

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