[Analisi] Quando ci vuole, ci vuole

Un forum per discutere di tutto quello che non riguarda la matematica!

Moderatore: tutor

MindFlyer

Messaggioda MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Viste le recenti diatribe, ripropongo qui questi utilissimi problemi di Analisi I, in attesa che compaia la sezione appropriata. <!-- BBCode Start --><I>Prego tutti coloro che li sanno risolvere al volo di tacere, e di lasciare spazio a chi ne ha veramente bisogno</I><!-- BBCode End -->. <BR> <BR><!-- BBCode Start --><B>1) Trovare una funzione f da (a, b) a R, con derivata nulla in x0, tale che x0 non sia un punto di massimo, di minimo o di flesso. <BR> <BR>2) Trovare una funzione f da (a, b) a R, con derivata positiva in x0, che non sia crescente in alcun intorno di x0.</B><!-- BBCode End -->

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4404
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggioda EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

E direi che c\'è altro: <BR><B> <BR>3) trovare f da (a,b) in R che sia derivabile in x0, ma che non sia derivabile in nessun altro punto di (a,b) <BR> <BR>4) trovare f (interessante) da (a,b) in R tale che f(x0)=0 e non esista un intervallo (a,x0) o (x0,b) in cui la funzione sia sempre non-positiva o sempre non-negativa. <BR></B><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 13-11-2004 15:12 ]

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggioda HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE> <BR>On 2004-11-13 09:25, MindFlyer wrote: <BR>1) Trovare una funzione f da (a, b) a R, con derivata nulla in x0, tale che x0 non sia un punto di massimo, di minimo o di flesso. <BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End --> <BR>Liberi di non credermi, ma mi sento di non appartenere alla categoria, sopra specificata da Mind, dei \"soggetti che hanno saputo risolvere al volo\" il suo problema, anche perché è la primissima volta che l\'incontro. Anzi, ad essere onesti, quasi mi vergogno un po\' a riconoscere di non essermi mai posto effettivamente la questione!!! Vabbe\', a parte le premesse... <BR> <BR>----------- <BR> <BR>NOTA: non è lesivo di generalità ammettere che (a,b) sia un intervallo simmetrico (non degenere) centrato nello zero e che il punto x<sub>0</sub> di cui si legge nella traccia del problema sia proprio l\'origine. <BR> <BR>Soluz.: essendo a € R<sup>+</sup>, sia f(·): (-a,a) --> R la funzione a valori reali definita assumendo: f(x) = x<sup>2</sup>, se x è algebrico su Q; f(x) = -x<sup>2</sup>, se x è trascendente su Q. Osserviamo subito che, per ogni x € R: |f(x)| = x<sup>2</sup> = |x|<sup>2</sup>, cosicché: <BR> <BR>lim<sub>h->0</sub> |[f(0+h) - f(0)]/h| = lim<sub>h->0</sub> |f(h)|/|h| = lim<sub>h->0</sub> |h|<sup>2</sup>/|h| = 0, <BR> <BR>e pertanto: lim<sub>h -> 0</sub> [f(0 + h) - f(0)]/h = 0. <!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End -->, secondo definizione, f(·) è derivabile in x<sub>0</sub> := 0, e in particolare: f\'(0) = 0. <BR> <BR>D\'altro canto, per ogni a € R<sup>+</sup>, esistono evidentemente<sup>(1)</sup> due punti distinti x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> € ]0, a[ tali che: f(x<sub>1</sub>) · f(x<sub>2</sub>) < 0, onde poterne dedurre che f(·) cambia di segno in ogni intorno destro dell\'origine, e dunque che il punto x<sub>0</sub> = 0 non può essere per la funzione né di estremo (assoluto o relativo) né di flesso a tangenza orizzontale, ché altrimenti il suo grafico, anche soltanto limitatamente ad un intorno unilatero destro (per quanto \"ristretto\") del punto in questione, avrebbe dovuto <!-- BBCode Start --><I>svolgersi</I><!-- BBCode End --> o interamente al di sopra o interamente al di sotto dell\'asse delle ascisse, in contrasto con la condizione appena qui sopra stabilita. <BR> <BR><sup>(1)</sup>: basta assumere x<sub>1</sub> := 1/2<sup>n</sup> ed x<sub>2</sub> = Pi/2<sup>n</sup>, ove n è un intero > |log<sub>2</sub>(Pi/a)|. <BR> <BR> <BR>\"Quel che si fa per amore è sempre al di là del bene e del male.\" - Friedrich W. Nietzsche, <!-- BBCode Start --><I>Al di là del bene e del male</I><!-- BBCode End --><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 13-11-2004 15:36 ]

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4404
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggioda EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Mamma mia, algebrici e trascendenti....ma visto che ti serviva solo un insieme denso a complementare denso non potevi prendere Q e R-Q ??

MindFlyer

Messaggioda MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Algebrici e trascendenti... Lol, ma razionali e irrazionali non ti piaceva? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <BR> <BR>Comunque, nota che questa funzione risolve anche i problemi 3 e 4 di Evaristo, ragione per cui non li ho posti in prima persona, avendo in mente come soluzione del problema 1 proprio una funzione analoga a quella tirata fuori da Hitleuler. <BR> <BR>EDIT: <BR>Ma mettere in evidenza queste altre 2 proprietà della funzione in ballo è cosa buona e giusta.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 13-11-2004 15:18 ]

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggioda HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE> <BR>On 2004-11-13 15:13, EvaristeG wrote: <BR>Mamma mia, algebrici e trascendenti....ma visto che ti serviva solo un insieme denso a complementare denso non potevi prendere Q e R-Q ?? <BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End --> <BR>Sì, in effetti... Eppure c\'è una ragione ben precisa anche per questo, sebbene non sia sicuro di poterla spiegare in modo convincente!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> <BR> <BR> <BR>\"L\'aforisma non coincide mai con la verità: o è una mezza verità o è una verità e mezza.\" - Karl Kraus<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 13-11-2004 15:49 ]

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggioda HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE> <BR>On 2004-11-13 09:25, MindFlyer wrote: <BR>2) Trovare una funzione f da (a, b) a R, con derivata positiva in x0, che non sia crescente in alcun intorno di x0. <BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End --> <BR>NOTA: come già nel caso del quesito n° 1, non è lesivo di generalità supporre che (a,b) sia un intervallo simmetrico (non degenere) centrato nello zero e che il punto x<sub>0</sub> di cui si legge nella traccia del problema sia proprio l\'origine. <BR> <BR>Soluz.: essendo a € R<sup>+</sup>, con a < [sqrt(2) - 1]/2, siano f(·), s(·): ]-a,a[ --> R le funzioni a valori reali definite assumendo f(x) := x<sup>2</sup> + x ed s(x) := 1, se x € R\\Q; f(x) := -x<sup>2</sup> + x ed s(x) := -1, se x € Q. Si osservi esplicitamente che, per ogni <BR>x € ]-a,a[: f(x) = s(x) · x<sup>2</sup> + x, e che inoltre: f(0) = 0. Ora: <BR> <BR>lim<sub>h->0</sub> [f(0+h) - f(0)]/h = lim<sub>h->0</sub> [s(h) · h<sup>2</sup> + h]/h = lim<sub>h->0</sub> [s(h) · h + 1] = 1 <BR> <BR>cosicché, secondo definizione, f(·) risulta derivabile nel punto x<sub>0</sub> := 0, e in particolare: f\'(0) = 1 > 0. Ebbene, dimostreremo qui di seguito che esistono <BR>x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> € ]0, a[, con x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub>, tali che: f(x<sub>1</sub>) > f(x<sub>2</sub>), onde concluderne, per l\'arbitrarietà del parametro reale positivo a < [sqrt(2) - 1]/2 cui le considerazioni svolte risulteranno riferite, che f(·) non è una funzione crescente attorno all\'origine, nonostante sia f\'(0) > 0, poiché la condizione indicata non risulta soddisfatta neppure unilateralmente, in un intorno <!-- BBCode Start --><I>destro</I><!-- BBCode End --> dello zero. <BR> <BR>Fissato x € ]0, a[, proviamo innanzitutto ch\'esiste un sottointervallo J(x) di ]0,1[ tale che, per ogni y € J(x): i) x + y < a; ii) x<sup>2</sup> + x > -(x+y)<sup>2</sup> + (x+y), ossia: <BR>y<sup>2</sup> + (2x-1)y + 2x<sup>2</sup> > 0. Ora, se y<sub>1</sub> ed y<sub>2</sub> denotano le radici dell\'equazione quadratica associata alla precedente disequazione, <!-- BBCode Start --><I>alura</I><!-- BBCode End -->: <BR> <BR>y<sub>1</sub> = (1 - 2x - sqrt[(1-2x)<sup>2</sup> - 8x<sup>2</sup>])/2; <font color=white>aaa</font>y<sub>2</sub> = (1 - 2x + sqrt[(1-2x)<sup>2</sup> - 8x<sup>2</sup>])/2,</center> <BR> <BR>cosicché: y<sub>1</sub>, y</sub>2</sub> € R sse: (1-2x)<sup>2</sup> - 8x<sup>2</sup>, ovvero: 0 < x < [sqrt(2) - 1]/2, il quale vincolo è sempre soddisfatto, per aver supposto x € ]0,a[, con a < [sqrt(2)-1]/2. <!-- BBCode Start --><I> <BR> <BR>Ergo</I><!-- BBCode End -->, essendo: [sqrt(2) - 1]/2 < 1/2, ne consegue che: 0 < y<sub>1</sub> < y<sub>2</sub>, onde poterne concludere (in ultima analisi) che le condizioni i) e ii) sopra indicate risultano verificate l\'una e l\'altra se si ammette: y € J(x), con J(x) := ]0, m<sub>x</sub>[ <BR>ed m<sub>x</sub> := min(a-x, (1 - 2x - sqrt[(1-2x)<sup>2</sup> - 8x<sup>2</sup>])/2). <BR> <BR>Ciò stabilito, sia dunque x<sub>1</sub> un numero irrazionale qualsiasi nell\'intervallo ]0,a[. Giusto a titolo d\'esempio, si può immaginare di assumere x<sub>1</sub> := 2<sup>1/2 - n</sup>, con n intero > 1/2 + log<sub>2</sub>(1/a). E allora, poiché l\'insieme dei numeri razionali è denso in R, esiste certamente un qualche q € Q t.c.: q > x<sub>1</sub> e (q - x<sub>1</sub>) € J(x<sub>1</sub>). <BR> <BR>Sia dunque x<sub>2</sub> := q. Per costruzione: x<sub>1</sub> < x<sub>2</sub>, e tuttavia: f(x<sub>1</sub>) = x<sub>1</sub><sup>2</sup> + x<sub>1</sub>, poiché x<sub>1</sub> è irrazionale; f(x<sub>2</sub>) = -x<sub>2</sub><sup>2</sup> + x<sub>2</sub>, in quanto (viceversa) x<sub>2</sub> è razionale. Inoltre: f(x<sub>1</sub>) > f(x<sub>2</sub>), dacché: (x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub>) € J(x<sub>1</sub>). Viste le considerazioni svolte in precedenza, il problema resta così completamente risolto. <BR> <BR>EDIT: ho riparato ad una piccola disattenzione! <BR> <BR> <BR>\"L\'aforista è uno scrittore che con una manciata di parole vuole far concorrenza a un libro intero, e con un piccolo libro ad un\'intera biblioteca.\" - Julien De Valckenaere<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 14-11-2004 10:16 ]

Seppe
Messaggi: 7
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggioda Seppe » 01 gen 1970, 01:33

Ok, sono proprio solo uno studentello di ingegneria. <BR>Alzo le mani e vado a studiare, stavolta però da qualche altro libro, invece che da un libro di analisi per ingegneri. <BR> <BR>p.s. hai ragione Hitler sono un pò frustrato anch\'io l\'ingegneria mi fa un pò ca..re

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggioda HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE> <BR>On 2004-11-13 18:15, Seppe wrote: <BR>Ok, sono proprio solo uno studentello di ingegneria. <BR>Alzo le mani e vado a studiare, stavolta però da qualche altro libro, invece che da un libro di analisi per ingegneri. <BR> <BR>p.s. hai ragione Hitler sono un pò frustrato anch\'io l\'ingegneria mi fa un pò ca..re <BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End --> <BR>i) Il mio nick non intende essere assolutamente un tributo a quel co***one di Adolf, quindi evita - se puoi - di indirizzarmi utilizzando certe sincopi... <BR> <BR>ii) Personalmente non è che sia poi tanto frustrato, ecco... Certo, l\'ingegneria non è l\'ambiente più indicato per coltivare la passione o il talento per la Matematica, d\'accordo... ma è pur vero che, per la massima percentuale, le capacità dei singoli dipendono dall\'interesse con cui i medesimi si applicano a questa o quell\'altra attività, si tratti della Matematica come della filosofia, dello sport come della musica, dell\'ornitologia come dell\'amore, ancorché in quest\'ultimo caso i confini potrebbero apparire agli occhi di qualcuno leggermente sfumati... <BR> <BR>Quindi, se posso permettermi di darti un consiglio, anziché sentirti <!-- BBCode Start --><I>mortificato</I><!-- BBCode End --> dalla lettura di quel che trovi scritto, qua e là, per il forum, prova a maturarne uno stimolo per superare i tuoi limiti, e se anche non dovessi riuscirci al primo colpo, beh... ricorda che puoi sempre ritentare!!! Così, presto o tardi, è certo che arriverai a non stimarti più per quel misero studentello in ingegneria che adesso, probabilmente un po\' pure per una mia colpevole responsabilità, hai a ritenerti. OK??? Beh, forse non è proprio così, ma mi piace immaginare che, indirettamente, con questo tuo intervento, tu abbia dato un grosso contributo alla comunità di questo forum, e in particolare ai suoi frequentatori <!-- BBCode Start --><I>anonimi</I><!-- BBCode End -->, quelli un po\' più timidi e impauriti, aiutando magari nel contempo molti ragazzi che la pensano come te sul conto delle proprie capacità di matematizzazione a darsi un\'altra opportunità, e non cedere, arrendevoli di fronte alle prime difficoltà, all\'inganno di chi vorrebbe convincerli, con l\'insegnamento di una Matematica arida e qualche volta persino ottusa, che l\'<!-- BBCode Start --><I>arte dei numeri</I><!-- BBCode End --> sia una sorta di rituale mistico riservato soltanto ad una ristrettissima cerchia di eletti, possibilmente pure un tantino picchiatelli di testa... Siamo d\'accordo? Bene, allora niente più discorsi di quel genere!!! Ciao, Seppe, tienilo su... il morale, chiaramente! <BR> <BR>- Salvo <BR> <BR> <BR>\"Siamo arrivati troppo tardi per dire qualcosa che non sia già stato detto.\" - Jean de La Bruyère<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 14-11-2004 10:07 ]

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggioda HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Vorrei far notare soltanto che le soluzioni ai problemi 1 e 2 di questo <!-- BBCode Start --><I>thread</I><!-- BBCode End --> da me proposte dimostrano, in effetti, qualcosa in più rispetto alle richieste delle tracce originali, non altro che per il fatto d\'avere, appunto, carattere <!-- BBCode Start --><I>unilaterale</I><!-- BBCode End -->. Uff, d\'accordo, volevo soltanto sboroneggiare un po\', sì... bravi, mi avete scoperto, clapclap! Baaah, che razza di guastafeste!!! Mammaaaaaa...? <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <BR> <BR> <BR>\"Le mosche?!?\" - la tv<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 14-11-2004 10:05 ]

ragazza
Messaggi: 3
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00

Messaggioda ragazza » 01 gen 1970, 01:33

scusate ma io non ho capito se state ancora tentando di dare soluzione al mio problema o se state semplicemente andando per i cavoli vostri. <BR>cmq vi ringrazio per l\'aiuto datomi fin\'ora ma non ho capito sinceramente di chi mi possa fidare e quindi chi mi abbia dato la soluzione corretta. <BR>

MindFlyer

Messaggioda MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

ragazza, ti ripeto il mio consiglio: <BR>prendi un libro e leggi la definizione di derivata. Se non la capisci, leggi la definizione di limite, etc. Altrimenti, è evidente che non riesci a capire le risposte che ti si danno. Ma quando avrai la teoria per riuscire a capirle, automaticamente sarai in grado di risponderti da sola. <BR>Ciau!

EvaristeG
Site Admin
Messaggi: 4404
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Roma
Contatta:

Messaggioda EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Dunuqe...la risposta al tuo problema è stata data (correttamente e moolto formalmente) da HitLeuler (o come diamine si scrive) nell\'altro thread. <BR>Il succo è questo : <BR> <BR>*) la definizione di derivabilità è <BR> <BR>f : (a,b) --> R è derivabile in x0 punto di (a,b) quando esiste il seguente limite : <BR> <BR>lim<SUB>x -> x0</SUB> ( f(x) - f(x0) )/(x - x0) <BR> <BR>il valore di tale limite viene appunto detto derivata di f in x0 e indicato con f\'(x0). <BR> <BR>*) nel nostro caso f(x0)=0 quindi la condizione necessaria e sufficiente di derivabilità di f è che esista <BR>lim<SUB>x->x0</SUB> f(x)/(x-x0) <BR> <BR>*) mentre la condizione necessaria e sufficiente per la derivabilità di |f| è che esista <BR>lim<SUB>x->x0</SUB> |f(x)|/(x-x0) <BR> <BR>*) ora, ci sono due possibili casi da distinguere per quel che riguarda il segno, in quanto si può avere <BR>|f\'(xo)|=| lim<SUB>x->x0</SUB> f(x)/(x-x0) |=lim<SUB>x->x0</SUB> |f(x)|/(x-x0) <BR>oppure <BR>-|f\'(x0)!=-| lim<SUB>x->x0</SUB> f(x)/(x-x0) |= lim<SUB>x->x0</SUB> |f(x)|/(x-x0) <BR>sfruttando opportunamente le proprietà del modulo, a seconda che si computi il limite facendo muovere x verso x0 da destra o da sinistra. <BR>Affinchè il limite esista, i due limiti da destra e da sinistra devono coincidere, ma i due limiti coincidono se e solo se sono 0 (poichè 0=-0). Quindi |f| è derivabile in x0 se e solo se f\'(x0)=0. <BR> <BR>PS : Cmq ha ragione Mind, dovresti ridare un\'occhiatina ai tuoi libri di analisi... <BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 14-11-2004 13:26 ]

MindFlyer

Messaggioda MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE> <BR>On 2004-11-14 12:43, EvaristeG wrote: <BR>f : (a,b) --> R è derivabile in x0 punto di (a,b) quando esiste il seguente limite : <BR>lim<SUB>x -> x0</SUB> ( f(x) - f(x0) )/(x - x0) <BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End --> <BR>Scusa Evaristo, permettimi di completare la tua definizione: il limite deve esistere e deve essere finito.

Avatar utente
HiTLeuLeR
Messaggi: 1874
Iscritto il: 01 gen 1970, 01:00
Località: Reggio di Calabria

Messaggioda HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Perché nessuno si offre di risolvere i problemi 3 e 4 proposti da Evariste in questo <!-- BBCode Start --><I>thread</I><!-- BBCode End -->? Sul quarto non c\'è da scrivere neppure un rigo, in fondo! Suvvia, ormai che l\'argomento è stato sollevato, forse sarebbe il caso di portarlo fino in fondo, non vi pare? Blacky, potresti pensarci tu, per esempio... ghgh! <BR> <BR> <BR>\"Blacky, non innervosirmi o ti smantello il c**o a colpi di mi****a.\" - HiTLeuLeR


Torna a “[vecchio forum]Non solo Matematica!”

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 2 ospiti