Algebra...

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matthewtrager
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Messaggio da matthewtrager »

allora, io l\'ho trovato carino e non troppo facile (la seconda parte):
<BR>
<BR>i) trovare tutte le soluzioni intere di x^y=y^x
<BR>ii) trovare tutte le soluzioni razionali.
<BR>
<BR>ciao!
<BR>
lordgauss
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Messaggio da lordgauss »

Rimembro... Cortona 2001... che bei ricordi... e che emozione vedere Matiacic mentre lo spiegava... qui sotto in bianco ecco la soluzione
<BR>
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<BR>
<BR>AH AH
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talpuz
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Messaggio da talpuz »

AH AH
<BR>
<BR>che ridere
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dieciottantunesimi
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Messaggio da dieciottantunesimi »

Caro Germania,
<BR>non ti preoccupare, qui a Pisa non siamo tutti così antipatici come Lordgauss, anzi ... anzi speriamo che l\'hanno prossimo il numero degli antipatici che ci sono non aumenti di un\'unità. L\'intelligenza è importante come una lama, ma se ti manca l\'umanità di fondo ti manca il manico.[addsig]
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Biagio
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Messaggio da Biagio »

intanto la i)
<BR>x=y è banalmente sol.
<BR>ora, supponendo che x < y, si ha necessariamente che x|y, altrimenti vorrebbe dire che scomponendo x in fattori primi, esso conterrà almeno un numero primo con esponente maggiore di quanto abbia lo stesso numero primo in y, ma ciò sarebbe a maggior ragione evidente in x<sup>y</sup>=y<sup>x</sup> (in quanto x < y).
<BR>quindi possiamo dire che y=nx con n naturale ( > 1). sostituendo otteniamo:
<BR>x<sup>n</sup>=nx ma ciò è impossibile per x>=3 (basta l\'induzione).
<BR>se x=2 si ottiene y=4
<BR>le uniche sol. sono dunque (a;a),(2;4),(4;2)
<BR>
<BR>ora penso al ii)
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 24-01-2004 18:16 ]
lordgauss
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Messaggio da lordgauss »

Ok, non roviniamo un bel topic: scusate per lo scherzetto.
<BR>
<BR>Colgo l\'occasione pure per scusarmi se qualcuno si è sentito offeso da me: in ogni caso, specialmente visto il mezzo con il quale comunichiamo, non si possono prendere le cose troppo sul serio.
<BR>10/81: non ti conosco, ma mi piacerebbe farlo; comunque sottoscrivo la tua speranza, ed anzi: spero che l\'anno, o come dici tu, l\'hanno prossimo il numero di antipatici non solo non aumenti, ma addirittura diminuisca!
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talpuz
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Messaggio da talpuz »

lord, non avrai mica preso sul serio il mio intervento
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf »

Grande Matthew!!!
<BR>Giusto oggi ci stavo pensando a scuola...
<BR>Sono solo arrivato alla conclusione che, essendo la funzione \"radice n-esima di n crescente da 1 fino a + o - 3 e decrescente da 3 in poi possiamo affermare che x^(x+k)=(x+k)^x avrà sempre soluzione reale per k>0. per la risoluzione nn so a cosa pensare...
dieciottantunesimi
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Messaggio da dieciottantunesimi »

Caro Lord,
<BR>a volte esageri (per i miei standard) e magari io sono un pò intollerante e faccio poi di peggio, ma resta il fatto che ne vorrei a chili di persone acute come te che mi fanno notare i miei errori con elegante arguzia (se l\'avessi fatto a un altro mi sarei adirato). Spero proprio di ri-conoscerti l\'anno prossimo qui a Pisa.
<BR>Nel frattempo divertitevi:
<BR>
<BR>x<sup>n+1</sup>-(x+1)<sup>n</sup>=2001 con x ed n interi positivi.[addsig]
<img src="http://www.ocf.berkeley.edu/~wwu/YaBBImages/avatars/run_in_box.gif">
germania2002
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Messaggio da germania2002 »

10/81..ti ringrazio delle spiegazioni relative al fatto che la soluzione in bianco era vuota, cmq io l\'ho proposto poi chi vuole lo adotta...
<BR>
<BR>Cmq bellissima massima.[addsig]
"un uomo deve migliorare di qualcosa il mondo, se si vuole sentire realizzato..."
"Deutschland der beste Staat!"
[url:pvcj9bic]http://www.grid.org[/url:pvcj9bic] (pc vs cancro,sars,peste)
euler_25
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Messaggio da euler_25 »

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-24 15:24, matthewtrager wrote:
<BR>i) trovare tutte le soluzioni intere di x^y=y^x
<BR>ii) trovare tutte le soluzioni razionali.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Problema i)</B><!-- BBCode End -->: e allora... la soluzione proposta dal buon Biagio è corretta, ma sciaguratamente incompleta, poiché <!-- BBCode Start --><I>trascura di contemplare</I><!-- BBCode End --> l\'eventualità che x ed y possano essere (uno o entrambi) degli interi negativi o nulli!
<BR>
<BR>Orbene, vediamo qui di rimediare innanzitutto a questa <!-- BBCode Start --><B>svista</B><!-- BBCode End -->... Supponiamo in prima istanza xy = 0. Poiché il problema è simmetrico nei parametri coinvolti, l\'hp indicata può tradursi nell\'assunzione che sia x = 0, per quindi determinare un y€Z tale che: 0<sup>y</sup> = y<sup>0</sup>; la qual relazione risulta evidentemente soddisfatta se e soltanto se: y = x = 0, a patto di <!-- BBCode Start --><B>definire</B><!-- BBCode End --> (perché così ci piace e non per altro): 0<sup>0</sup> := 1. Ciò stabilito, possiamo dunque ammettere che risulti xy != 0, e in particolare xy < 0. Ancora una volta, è lecito allora supporre (per simmetria)
<BR>x < 0 ed y > 0, onde dedurne dover essere: (-|x|)<sup>y</sup> = 1/y<sup>|x|</sup>. Dacché il primo membro della relazione così posta è un intero, essendo y > 0, l\'eguaglianza può sussistere (com\'è ovvio) se e soltanto se: y = 1, e di conseguenza: |x| = -1, il che è palesemente assurdo! Se ne deduce che <!-- BBCode Start --><I>non esistono</I><!-- BBCode End --> soluzioni al problema della forma (x,y)€Z<sup>2</sup> tali che xy < 0. Supponiamo pertanto xy > 0 e procediamo distinguendo fra due possibili occorrenze:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>caso I</B><!-- BBCode End -->: x > 0, y > 0. Le soluzioni sono allora espresse tutte e sole dalle coppie (2, 4), (4, 2) ed (x,x), con x€N<sub>0</sub>, sì come si deduce per via delle argomentazioni già fornite dal nostro caro Biagio;
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>caso II</B><!-- BBCode End -->: x < 0, y < 0. Stante una simìl ipotesi, si trova (in tutta evidenza) che x ed y sono tali da soddisfare l\'equazione:
<BR>
<BR>(-1)<sup>|y|</sup>*(|x|)<sup>|y|</sup> = (-1)<sup>|x|</sup>*(|y|)<sup>|x|</sup> ==> x ≡ y (mod 2)
<BR>
<BR>In particolare, se x ed y sono due interi negativi dotati della medesima parità, allora la coppia (x,y) risolve la diofantea proposta da matthew se e soltanto se ne risulta altresì soluzione la coppia (|x|,|y|)€N<sub>0</sub><sup>2</sup>, ovvero (per riscontro al caso I) se e soltanto se (x,y) = (-2,-4) <!-- BBCode Start --><I>vel</I><!-- BBCode End --> (x,y) = (-4,-2) <!-- BBCode Start --><I>vel</I><!-- BBCode End --> x = y, essendo x arbitrariamente fissato in Z<sup>-</sup>.
<BR>
<BR>Dunque, riassumendo tutto quanto è stato detto, si può concludere che le soluzioni al problema i) sono rappresentate tutte e sole dalle coppie: (-2, -4),
<BR>(-4, -2), (2, 4), (4, 2) ed (x,x), con x€Z.
<BR>
<BR>Sia ben chiaro, Biagio: non è nulla di personale! Nient\'altro che romantico e patetico amor di veritade, commisto (come sempre) a una buona dose di leziosità barocca... ghghgh! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>P.S.: qualche minuto e posto il resto, <!-- BBCode Start --><I>please</I><!-- BBCode End -->!<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 04-02-2004 23:28 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>
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Messaggio da euler_25 »

<!-- BBCode Start --><B>Problema ii)</B><!-- BBCode End -->: uhm... siccome non voglio indugirare su alcuni dettagli..., mi limiterò a risolvere il problema di Matthew nell\'assunzione che x ed y siano variabili in Q<sub>+</sub> (qui, l\'insieme dei razionali positivi).
<BR>
<BR>E allora... poiché si vuole che x ed y appartengano a Q<sub>+</sub>, potrà porsi (secondo definizione) x := a/b ed y := c/d, ove a,b,c,d sono degli interi positivi tali che MCD(a,b) = MCD(c,d) = 1. Ne consegue che:
<BR>
<BR>x<sup>y</sup> = y<sup>x</sup> ==> (a/b)<sup>c/d</sup> = (c/d)<sup>a/b</sup> ==> (a/b)<sup>bc</sup> = (c/d)<sup>ad</sup> ........(1)
<BR>
<BR>Ora, se b = 1, evidentemente è pure d = 1, onde ricondursi al problema precedente. Possiamo dunque supporre (per la simmetria del problema): min{b, d} > 1. In tal caso, come conseguenza della (1), si evince che:
<BR>
<BR>a<sup>bc</sup> = (c<sup>ad</sup>*b<sup>bc</sup>)/d<sup>ad</sup> ......(2)
<BR>
<BR>c<sup>ad</sup> = (a<sup>bc</sup>*d<sup>ad</sup>)/b<sup>bc</sup> ......(3)
<BR>
<BR>Ora, ai primi membri delle relazioni così ottenute figurano chiaramente delle quantità intere. <!-- BBCode Start --><I>Ergo</I><!-- BBCode End -->, affinché l\'eguaglianza possa sussistere, è necessario che anche i secondi membri siano delle entità della medesima specie. E poiché si suppone MCD(a,b) = MCD(c,d) = 1, tale condizione si traduce necessariamente nell\'imporre che sia ogni fattore primo divisore di b è pure un fattore primo divisore di d, e viceversa: a questo proposito, si osservi esplicitamente che tutto il discorso è <!-- BBCode Start --><I>correttamente impostato</I><!-- BBCode End --> poiché si sta supponendo min{b,d} > 1. Ne fa seguito dov\'essere (salto qualche passaggio...): ad ≤ bc, per la (2); bc ≤ ad, per la (3). Se ne conclude ovviamente ad = bc, ovvero x := a/b = c/d =: y.
<BR>
<BR>In conclusione, dunque, le soluzioni <!-- BBCode Start --><B>razionali positive</B><!-- BBCode End --> dell\'equazione: x<sup>y</sup> = y<sup>x</sup> risultano espresse tutte e sole dalle soluzioni <!-- BBCode Start --><B>in interi positivi</B><!-- BBCode End --> del problema i) e dalla totalità delle coppie (x,y)€(Q<sub>+</sub>\\N)<sup>2</sup> tali che x = y. FINE!!!
<BR>
<BR>Su, ché il più è stato fatto! A voi completare il quadro, adesso... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 04-02-2004 23:31 ]
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Messaggio da euler_25 »

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-25 12:31, dieciottantunesimi wrote:
<BR>Caro Lord,
<BR>a volte esageri (per i miei standard) e magari io sono un pò intollerante e faccio poi di peggio, ma resta il fatto che ne vorrei a chili di persone acute come te che mi fanno notare i miei errori con elegante arguzia (se l\'avessi fatto a un altro mi sarei adirato). Spero proprio di ri-conoscerti l\'anno prossimo qui a Pisa.
<BR>Nel frattempo divertitevi:
<BR>
<BR>x<sup>n+1</sup>-(x+1)<sup>n</sup>=2001 con x ed n interi positivi.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Mi piacerebbe risolverlo, ma penso che il prodigioso Lord non gradirebbe troppo la mia ingerenza nella faccenda, per cui (mio malgrado) dovrò starmene a bada, aspettando (forse invano?!?) che il nostro <!-- BBCode Start --><I>piccolo</I><!-- BBCode End --> Gauss risponda a tono alla provocazione del <!-- BBCode Start --><I>grandioso</I><!-- BBCode End --> 10/81... suvvia, Lord, non farti desiderare!!! Prestati al giuoco e mostra a quell\'irriverente... di quali prodezze sei TU capace! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 05-02-2004 01:02 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>
LB
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Messaggio da LB »

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Ne fa seguito dov\'essere (salto qualche passaggio...): ad ≤ bc, per la (2); bc ≤ ad, per la (3). Se ne conclude ovviamente ad = bc, ovvero x := a/b = c/d =: y.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Falso.
<BR>Da cio\' segue solo d^(ad) = b^(bc).
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>In conclusione, dunque, le soluzioni <!-- BBCode Start --><B>razionali positive</B><!-- BBCode End --> dell\'equazione: x<sup>y</sup> = y<sup>x</sup> risultano espresse tutte e sole dalle soluzioni <!-- BBCode Start --><B>in interi positivi</B><!-- BBCode End --> del problema i) e dalla totalità delle coppie (x,y)€(Q<sub>+</sub>\\N)<sup>2</sup> tali che x = y. FINE!!!
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Falso.
<BR>Le soluzioni positive sono date da x = y e {x = (1 + 1/k)^k, y = (1 + 1/k)^(k + 1)} per ogni k in N+ (e da quelle con x e y scambiate).
<BR>In particolare x in N+ e y in N+ se e solo se x = y oppure k = 1.
<BR>
<BR>Ad esempio x = 9/4 e y = 27/8 e\' soluzione.
<BR>
LB
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Messaggio da LB »

Soluzione corretta:
<BR>
<BR>X > 0
<BR>y > 0
<BR>
<BR>x = a * c/d
<BR>y = b * c/d
<BR>
<BR>(a, b) = (c, d) = 1
<BR>
<BR>x <= y
<BR>
<BR>(a * c/d)^b = (b * c/d)^a
<BR>
<BR>a^b * c^(b - a) = b^a * d^(b - a)
<BR>
<BR>
<BR>a^b = d^(b - a)
<BR>b^a = c^(b - a)
<BR>
<BR>
<BR>g = b - a
<BR>a^b = d^g
<BR>b^a = c^g
<BR>
<BR>(a, g) = (b, g) = 1
<BR>
<BR>
<BR>per ogni p,
<BR>p^Ab = p^Dg
<BR>Ab = Dg
<BR>
<BR>A = kg
<BR>D = kb
<BR>
<BR>
<BR>a = e^g
<BR>b = f^g
<BR>
<BR>e^b = d
<BR>f^a = c
<BR>
<BR>e^(f^g) = d
<BR>f^(e^g) = c
<BR>
<BR>g = f^g - e^g
<BR>h = f - e
<BR>
<BR>
<BR>g = (e + h)^g - e^g
<BR>
<BR>
<BR>se e = 0, x = 0, no
<BR>
<BR>
<BR>se g > 2
<BR>g = geh(e^(g - 2) + h^(g - 2)) + ...
<BR>
<BR>eh(e^(g - 2) + h^(g - 2)) <= 1
<BR>se h = 0, g = 0, no
<BR>
<BR>e^(g - 2) + h^(g - 2) = 1
<BR>no
<BR>
<BR>se g = 2
<BR>2 = h^2 + 2eh
<BR>
<BR>eh <= 1
<BR>se h = 0, g = 0, no
<BR>
<BR>e = 1, h = 1
<BR>2 = 3
<BR>no
<BR>
<BR>se g = 1
<BR>b = a + 1
<BR>
<BR>a^(a + 1) = d
<BR>(a + 1)^a = c
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>
<BR>x = a * (a + 1)^a / a^(a + 1) = (a + 1)^a * a^-a = ((a + 1)/a)^a = (1 + 1/a)^a
<BR>y = (a + 1) * (a + 1)^a / a^(a + 1) = (a + 1)/a * ((a + 1)/a)^a = ((a + 1)/a)^(a + 1) = (1 + 1/a)^(a + 1)
<BR></B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>se g = 0
<BR>a = b
<BR>a = b = 1
<BR><!-- BBCode Start --><B>x = y</B><!-- BBCode End -->
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: LB il 05-02-2004 02:22 ]
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