Teorema della Media

mik84 · Messaggio da **mik84** » 01 gen 1970, 01:33

E\' possibile dimostrare, per quanto riguarda il teorema della media integrale, che non solo è esatto dire che esiste un c appartente all\'intervallo chiuso (a, b) (estremi dell\'integrale definito), ma che esiste un c appartenente all\'intervallo aperto?
 
 Chiedo gentilmente una dimostrazione del secondo enunciato... od un esempio che lo smentisca.
 
 Grazie...

Barozz · Messaggio da **Barozz** » 01 gen 1970, 01:33

Non capisco bene quello che chiedi. se l\'intervallo è aperto com fai a trovare la media? forse intendi funzioni rapidamente convergenti o integrali impropri dove uno degli estremi non è compreso nella funzione? in questo caso penso esisti solo se la differenza tra gli estremi b-a esista e sia finita. in quel caso puoi trovare c sapendo che f(c)=int[a...b]f(x) dx / (b-a). [addsig]

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

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 On 2003-12-17 09:01, mik84 wrote:
 E\' possibile dimostrare, per quanto riguarda il teorema della media integrale, che non solo è esatto dire che esiste un c appartente all\'intervallo chiuso (a, b) (estremi dell\'integrale definito), ma che esiste un c appartenente all\'intervallo aperto?
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 Certo! E\' un fatto intuitivo, e si dimostra facilmente col teorema di esistenza degli zeri.

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

Ok, scriviamo la dimostrazione. Supponiamo che l\'integrale da a a b della funzione continua f(x) sia k, e consideriamo g(x)=f(x)-k. Indicando con (a,b) l\'intervallo aperto, se g fosse sempre positiva in (a,b) allora considerando un sottointervallo chiuso [c,d], per il teorema di Weierstrass g avrebbe minimo m>0 su [c,d], da cui discende che l\'integrale da c a d sarebbe >= m*|d-c| > 0. A questo va sommato l\'integrale su (a,b)\\[c,d], che è >= 0, da cui l\'assurdo. Se g fosse sempre negativa avremmo un assurdo analogo: quindi, g assume entrambi i segni sull\'intervallo (a,b). Ma allora, detti p e q 2 punti tali che a<p<q<b e che g(p)*g(q)<0, per il teorema di esistenza degli zeri esiste w appartenente a (p,q) tale che g(w)=0, da cui f(w)=k.

mik84 · Messaggio da **mik84** » 01 gen 1970, 01:33

C\'è qualcosa che non mi torna... perché il fatto che g è sempre positiva è un assurdo?

mik84 · Messaggio da **mik84** » 01 gen 1970, 01:33

... cioè che cosa contraddice il fatto che l\'integrale è positivo?

Antimateria · Messaggio da **Antimateria** » 01 gen 1970, 01:33

...Il fatto che se f(x) ha integrale k, allora g(x)=f(x)-k deve avere integrale 0![addsig]