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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Visto che geometria difficile non se ne vede, ecco qualcosa per tenere impegnati i più accaniti manipolatori di riga e compasso.
<BR>
<BR>Sia dato un triangolo ABC; siano T1, T2, T3 i punti di tangenza del cerchio inscritto con i lati BC, CA, AB.
<BR>I) Dimostrare che AT1, BT2, CT3 concorrono. (facile) Tale punto di concorrenza è chiamato punto di Gergonne (J).
<BR>Siano ora r,s,t tre rette per J con r//T1T2, s//T2T3, t //T3T1. Chiamiamo R1, R2 i punti in cui r tocca i lati di ABC e similmente definiamo S1, S2 e V1,V2.
<BR>II) Dimostrare che R1,R2,S1,S2,V1,V2 giacciono su una stessa circonferenza (Cerchio di Adams). Trovare il centro del cerchio di Adams.
<BR>
<BR>Questo cerchio non ha alcuna altra proprietà: il suo raggio è orrido, su di lui non giacciono punti notevoli, non tange nessun altro cerchio \"famoso\", insomma, è una rarità. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 31-01-2005 23:42 ]

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Occhio, hai definito 2 volte T1 e T2!
<BR>Bel problema, comunque!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

Per il primo punto e\' sufficiente applicare il teorema di Menelao
<BR>(dopo aver osservato che i segmenti di tangente uscenti da uno
<BR>stesso vertice sono congruenti) oppure il teorema di Brianchon
<BR>applicato all\'esalatero formato dai tre lati del triangolo e dai tre
<BR>punti di contatto.
<BR>Per il secondo punto sono a conoscenza che il centro della
<BR>circonferenza di Adams e\' l\'incentro di ABC e sto provando a
<BR>dimostrarlo tramite gli angoli, ma per adesso ..acqua.
<BR>

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

se magari non lo dici così c\'è più gusto ... magari non tutti sanno qual è il centro ...

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

Preciso (sperando che basti a rendere univoca la figura)che per come ho messo i punti io V1,T3 ed S1 stanno su AB, R2,T1 e V2 stanno su Bc e S2, T2 ed R1 stanno su CA.
<BR>E facile verificare (accasamento degli angoli e relazione A/2+B/2+C/2 = 90°)che tutti i triangoli che hanno il vertice comune J sono simili al triangolo T1T2T3. Da questo segue rapidamente che i punti Ri,Si e Vi stanno su uno stesso cerchio.
<BR>Il centro di questo cerchio e\' dato dall\'intersezione degli assi di sue genriche corde. In particolare, ad esempio, dagli assi di V1R1 ed S1R2. Ma gli assi di questi segmenti sono le bisettrici degli angoli in A e B rispettivamente. Pertanto il centro del cerchio e\' l\'incentro di ABC.
<BR>Da questo segue direttamente, tra l\'atro, che T1 e\' il punto medio di R2V2 e cose similari.
<BR>
<BR>
<BR>
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<BR>
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MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-01 14:43, sprmnt21 wrote:
<BR>E facile verificare (accasamento degli angoli e relazione A/2+B/2+C/2 = 90°)che tutti i triangoli che hanno il vertice comune J sono simili al triangolo T1T2T3.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Un momento, come dimostri ad esempio che JR1V1 è simile a T1T2T3?
<BR>Questa è la vera difficoltà della dimostrazione, secondo me...

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-01 15:10, MindFlyer wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-01 14:43, sprmnt21 wrote:
<BR>E facile verificare (accasamento degli angoli e relazione A/2+B/2+C/2 = 90°)che tutti i triangoli che hanno il vertice comune J sono simili al triangolo T1T2T3.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Un momento, come dimostri ad esempio che JR1V1 è simile a T1T2T3?
<BR>Questa è la vera difficoltà della dimostrazione, secondo me...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>hai ragione ho accorciato un po\' troppo.
<BR>
<BR>In ogni caso l\'affermazione e\' giustificata dal fatto che i due triangoli sono proiettivamente corrispondenti attraverso A e avendo due lati paralleli anche i terzi, per Desargues, sono paralleli e quindi i due triangoli sono simili.
<BR>
<BR>
<BR>

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-01 16:41, sprmnt21 wrote:
<BR>In ogni caso l\'affermazione e\' giustificata dal fatto che i due triangoli sono proiettivamente corrispondenti attraverso A e avendo due lati paralleli anche i terzi, per Desargues, sono paralleli e quindi i due triangoli sono simili.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Senza tirare in ballo Desargues e rimanendo nella geometria elementare,
<BR>potresti usare l\'omotetia F centrata in A che manda T1 in J.
<BR>Allora F manda T2 in R1, perché T1T2//JR1,
<BR>e per la stessa ragione F manda T3 in V1.
<BR>Dunque F manda il segmento T2T3 nel segmento R1V1 (che sono quindi paralleli), e questo dimostra che i triangoli T1T2T3 e JR1V1 sono simili.

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Boh, quelli bravi hanno già risolto il problema, quindi salto sul carro del vincitore e metto anche le mie considerazioni da tre soldi e un quarto.
<BR>
<BR>[Notazione: per me, R1 e V2 sono su BC, R1 verso B; gli altri sono ottenuti per rotazione dei nomi]
<BR>
<BR>Arrivato a dimostrare il parallelismo dei segmenti R1S2 // T1T3 [ // V1V2 per hp.] e rotazioni (v. post MindFlyer), concludo in modo leggermente diverso da S21, come segue:
<BR>Tutti i triangoli con tali segmenti come basi e vertice in B sono isosceli. Quindi R1T1 = S2T3 e T1V1 = T3V2. Facendo il giro attorno al triangolo, salta fuori che tutti i sei segmenti sono uguali. Cioè, il punto di contatto T1 è il punto medio di R1V2 e rotazioni. L\'asse del segmento è ortogonale a BC e esce da T1, e quindi passa per I. Il supposto centro è perciò l\'incentro, ecc...
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Célo, célo... manca!!
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-01 16:41, sprmnt21 wrote:
<BR>[...]i due triangoli sono proiettivamente corrispondenti attraverso A e avendo due lati paralleli anche i terzi, per Desargues, sono paralleli[...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>No, spiegamela, perché per me è arabo. Che vuol dire \"proiettivamente corrispondenti attraverso A\" e cosa recita Desargues?
<BR>
<BR>@Karl: per il punto 1, hai citato Menelao. Sono troppo cretino per capire come lo usi. Intendevi forse il teorema di Ceva? (Menalao, se ben ricordo, parla di collinearità tra punti, non di concorrenza di rette)
<BR>
<BR>Mamma mia, ragazzi, sono un pozzo di ignoranza...
<BR>
<BR>
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-02 11:16, marco wrote:
<BR>Célo, célo... manca!!
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-01 16:41, sprmnt21 wrote:
<BR>[...]i due triangoli sono proiettivamente corrispondenti attraverso A e avendo due lati paralleli anche i terzi, per Desargues, sono paralleli[...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>No, spiegamela, perché per me è arabo. Che vuol dire \"proiettivamente corrispondenti attraverso A\" e cosa recita Desargues?
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Non ho la pretesa di essere formalmente preciso (anzi sono certo del contrario). Nella sostanza dico che JR1V1 e\' proiettivo con T1T2T3 attraverso A perche\' T1,T2 eT3 stanno su Aj,AR1 e AV1. Desargues dice che se due traiangoli sono tali che succeda quanto sopra allora le intersezioni dei lati corrispondenti sono allineate. Nel nostro caso due intersezioni sono all\'infinito quindi anche la terza deve essere la\'.
<BR>Ma a tutto questo si puo\' arrivare piu\' semplicemente come ha fatto vedere MindFlyer.
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-02 11:16, marco wrote:
<BR>per il punto 1, hai citato Menelao. Sono troppo cretino per capire come lo usi. Intendevi forse il teorema di Ceva? (Menalao, se ben ricordo, parla di collinearità tra punti, non di concorrenza di rette)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Nota che Menelao può essere applicato in almeno 2 modi alla stessa figura...
<BR>
<BR>EDIT
<BR>Qualche precisazione: i 2 teoremi sono equivalenti (nel senso che dall\'uno si può dimostrare l\'altro in pochi passaggi). Inoltre, le dimostrazioni dei 2 teoremi che usano aree etc sono *molto* simili, e mi pare che l\'unica differenza sia una somma di aree (e di segmenti) anziché una sottrazione.
<BR>Ma il discorso dell\'enunciato unificatore dev\'essere falso, quindi lo cancello. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 02-02-2005 13:58 ]

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karl
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Messaggio da karl » 01 gen 1970, 01:33

@Marco
<BR>Mi scuso ma non sono piu\' ritornato su questo post
<BR>e non ho letto la tua domanda.
<BR>Effettivamente devo aver fatto confusione tra i due teoremi;
<BR>chissa \' perche\' al momento ero convinto che \"Menelao\"
<BR>fosse il reciproco di \"Ceva\";comunque la mia intenzione
<BR>era proprio quella di applicare quest\'ultimo teorema.
<BR>Saluti
<BR>

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