Algebra - Aritmetica

In questo forum si discute delle Olimpiadi di Matematica

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B0nobo
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Messaggio da B0nobo » 01 gen 1970, 01:33

Potreste postare esercizi dimostrativi di algebra, aritmetica, disuguaglianze algebriche di livello provinciale così come avete fatto per geometria? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
Voi guardate verso l'alto, quando cercate l'elevazione.
E io guardo verso il basso, perchè sono elevato.
Chi di voi sa ad un tempo ridere ed essere elevato?
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fph
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Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

Non e\' cosi\' semplice trovarne tanti... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>Comunque se vuoi allenarti puoi cominciare dalle gare vecchie (le trovi nell\'area download del sito) e dagli esercizi dei giornalini passati.
<BR>Insomma, un po\' di materiale da allenamento cercando un po\' si dovrebbe trovare!
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--federico
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HiTLeuLeR
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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Ma ciao!!! Sì, è un po\'... Giusto per rispondere alla richiesta di b0nobo e di quanti altri abbiamo voglia di esercitarsi con la Teoria dei Numeri, ecco una raccoltina di problemi che ho risolto ultimamente. La difficoltà è variabile, ma non saprei essere obiettivo nel valutarla, per cui... Beh, fate un po\' voi!?!
<BR>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 1:</B><!-- BBCode End --></font> mostrare che, se n è un numero naturale composito > 1, allora esistono x, y, z in N<sub>0</sub> tali che: n = xy + yz + zx + 1. [risolto da Boll, pag. 1]
<BR>
<BR><font color=blue><!-- BBCode Start --><B>Problema 2:</B><!-- BBCode End --></font> siano p un primo naturale e g<sub>1</sub>, g<sub>2</sub>, ..., g<sub>phi(p-1)</sub> le sue phi(p-1) radici primitive distinte mod p. Provare che: prod<sub>k=1...phi(p-1)</sub> g<sub>k</sub> = 1 mod p. [risolto da edony, pagg. 1-2; da HiTLeuLeR, pag. 3]
<BR>
<BR>NOTA: al solito, phi(·) denota qui la totiente di Eulero.
<BR>
<BR><font color=blue><!-- BBCode Start --><B>Problema 3:</B><!-- BBCode End --></font> determinare tutte e sole le terne (m,n,k) di interi positivi, con
<BR>k > 1, tali che: 1! + 2! + ... + m! = n<sup>k</sup>.
<BR>
<BR><font color=blue><!-- BBCode Start --><B>Problema 4:</B><!-- BBCode End --></font> provare che, per ogni intero n > 2, esistono n altri interi positivi <!-- BBCode Start --><I>distinti</I><!-- BBCode End --> d<sub>1</sub>, d<sub>2</sub>, ..., d<sub>n</sub> tali che n! = sum<sub>k=1...n</sub> d<sub>k</sub> e d<sub>k</sub> | n!, p.o. k = 1, 2, ..., n.
<BR>
<BR><font color=blue><!-- BBCode Start --><B>Problema 5:</B><!-- BBCode End --></font> determinare il più grande reale positivo k tale che: k <U><</U> x/y, se (x,y,u,v) è una soluzione in interi > 0 del sistema: i) x + y = u + v; ii) 2xy = uv.
<BR>
<BR><font color=red><!-- BBCode Start --><B>Problema 6:</B><!-- BBCode End --></font> dimostrare che, per ogni m € N ed ogni n € N<sub>0</sub>, esiste almeno un intero a > 0 tale che, per ogni k = 0, 1, ..., m: n | phi(a+k).
<BR>
<BR>NOTA: in vero, si può mostrare una tesi più forte, i.e. che n\'esistono infiniti.
<BR>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 7:</B><!-- BBCode End --></font> mostrare che, per ogni k intero > 0, esistono infiniti n € N tali che: k · 2<sup>2<sup>n</sup></sup> + 1 sia un numero composto.
<BR>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 8:</B><!-- BBCode End --></font> provare che esiste un intero positivo k > 0 tale che, per ogni
<BR>n € N<sub>0</sub>, k · 2<sup>2<sup>n</sup></sup> + 1 sia un numero composto. [risolto da boll, pag. 3]
<BR>
<BR><font color=red><!-- BBCode Start --><B>Problema 9<sup>*</sup>:</B><!-- BBCode End --></font> sia {p<sub>n</sub>(·)}<sub>n € N</sub> la successione a valori in R[x] (l\'insieme dei polinomi di una variabile a coefficienti in R) definitiva ricorsivamente ponendo, per ogni x € R ed ogni n € N: p<sub>0</sub>(x) := 1 e p\'<sub>n+1</sub>(x) := (n+1) · p<sub>n</sub>(x+1), ove l\'apice denota una derivazione rispetto alla variabile x. Stabilire la scomposizione in fattori primi di p<sub>100</sub>(1).
<BR>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 10:</B><!-- BBCode End --></font> essendo p un numero primo di N, calcolare tutte e sole le soluzioni in interi positivi dell\'equazione: 1/m + 1/n = 1/p. [risolto da masso, pag. 2]
<BR>
<BR><font color=blue><!-- BBCode Start --><B>Problema 11:</B><!-- BBCode End --></font> mostrare che, se p è un primo intero > 0 e g una radice primitiva mod p, allora la medesima proprietà è pure soddisfatta dall\'inverso aritmetico di g mod p.
<BR>
<BR>NOTA: quest\'è segnato in blu solo perché coinvolge la nozione di radice primitiva! Tuttavia, mi si lasci dire ch\'è molto molto semplice, per chi già possegga i <!-- BBCode Start --><I>concetti</I><!-- BBCode End --> necessari...
<BR>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 12:</B><!-- BBCode End --></font> sapendo che, in rappresentazione decimale, risulta essere 34! = <!-- BBCode Start --><B>2</B><!-- BBCode End -->95232799cd96041408476186096435ab000000, calcolare le cifre incognite \'a\', \'b\', \'c\', \'d\' che figurano a secondo membro. [risolto da HiTLeuLeR, pag. 4; abbozzato da matrix, pag. 3]
<BR>
<BR>NOTA: naturalmente, è fatto assoluto divieto di usare calcolatrici et similia! A limite, è ammesso l\'impiego dell\'abaco o delle fave secche... Regolatevi!!!
<BR>
<BR><font color=blue><!-- BBCode Start --><B>Problema 13:</B><!-- BBCode End --></font> siano n un dispari intero > 1 ed S := {k € N: 0 < k < n & gcd(n,k) = gcd(n,k+1) = 1}. Dopo aver osservato che S è non vuoto, si mostri che: prod<sub>k € S</sub> k = 1 mod n, ove la produttoria s\'intende estesa a tutti e soli gli elementi di S. Dedurne una dimostrazione del teorema di Wilson.
<BR>
<BR>Nota: per quanti non dovessero conoscerne l\'enunciato, il th. di Wilson stabilisce che, se p è un numero primo naturale, allora p | (p-1)! + 1.
<BR>
<BR><font color=red><!-- BBCode Start --><B>Problema 14:</B><!-- BBCode End --></font> fissati m, n € N<sub>0</sub>, con m > 1, siano assegnati n altri interi positivi a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>n</sub> ed n numeri primi naturali p<sub>1</sub>, p<sub>2</sub>, ..., p<sub>n</sub>, a due a due non necessariamente distinti. Provare che il numero reale sum<sub>k=1...n</sub> a<sub>k</sub> · p<sub>k</sub><sup>1/m</sup> è irrazionale, o eventualmente esibire un esempio che dimostri l\'asserto contrario.
<BR>
<BR><font color=blue><!-- BBCode Start --><B>Problema 15:</B><!-- BBCode End --></font> determinare tutti e soli gli n € N tali che 17 | 3<sup>n</sup> - n.
<BR>
<BR><font color=blue><!-- BBCode Start --><B>Problema 16:</B><!-- BBCode End --></font> determinare tutti e soli gli n € N<sub>0</sub> tali che 7<sup>n</sup> | 9<sup>n</sup> - 1.
<BR>
<BR>Ci risentiamo presto, ciao di nuovo.
<BR> - salvatore tr.
<BR>
<BR>EDIT: aggiunti due nuovi problemi e aggiornata la lista dei solutori.<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 27-01-2005 14:52 ]

B0nobo
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Messaggio da B0nobo » 01 gen 1970, 01:33

Grazie, euler, cercherò di risolverli al più presto!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: B0nobo il 22-01-2005 12:47 ]
Voi guardate verso l'alto, quando cercate l'elevazione.
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR><font color=green><!-- BBCode Start --><B>Problema 1:</B><!-- BBCode End --></font> mostrare che, se n è un numero naturale composito > 1, allora esistono x, y, z in N<sub>0</sub> tali che: n = xy + yz + zx + 1.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Per definizione, ogni numero composto si possa scrivere sotto la forma n=ab, con a,b€N, e a,b=/=1
<BR>Ora ci basterà porre
<BR>y=1 z=a-1
<BR>avremo:
<BR>x+a-1+(a-1)x+1
<BR>ax+a
<BR>a(x+1)
<BR>quindi, fissato a, al variare di x in N otteremo tutte le b (non ci serve x=0 perchè non ci serve a*1) , quindi anche quella cercata.<font color=white>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 22-01-2005 12:15 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 22-01-2005 12:18 ]
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-22 12:08, Boll wrote:
<BR>Per il caso di n=1, x=y=z=0
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Per definizione, 1 non è né primo né composto. Inoltre, la traccia precisa che
<BR>x, y, z debbano essere interi positivi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif">
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>E\' scontato che ogni numero composto si possa scrivere sotto la forma n=ab, con a,b€N.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>In primis, lasciami confessare che \"scontato\" non mi pare proprio il termine più adatto. Magari avresti fatto mejo a dire che trattasi giusto d\'una conseguenza alla definizione stessa di numero composto... In secundis, quell\'è una proprietà comune a <!-- BBCode Start --><I>tutti</I><!-- BBCode End --> gli interi > 0. Non capisco perciò dov\'è che tu abbia concretamente utilizzato l\'ipotesi di compostezza... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
<BR>
<BR>Si tratterà pure di distrazione, non lo dubito, ma tieni conto che i tuoi \"giudici\" non saranno comunque tenuti a stimarla tale... E non è ammissibile usare tanta approssimazione nel risolvere un problema così elementare!!! Pensaci su...
<BR>
<BR>EDIT: mi hai battuto sul tempo, eh?!? Adesso va bene, anche se... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 27-01-2005 10:43 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Ci credereste mai che il problema n° 1 è un Putnam? Baaah... <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif">

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Melkon
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Messaggio da Melkon » 01 gen 1970, 01:33

scusa l\'ignoranza Hit, ma che cos\'è un numero composto? (o composito, lo chiami in due maniere diverse nel tuo post, sempre che non siano due cose diverse... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> )
"Bisogna vivere come si pensa, se no, prima o poi, ci si troverà a pensare come si è vissuto"
Paul Borget

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

Composito o composto non fa differenza... Un intero n > 1 si dice composto sse esistono due altri interi a, b > 1 tali che: n = ab. Punto...

edony
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Messaggio da edony » 01 gen 1970, 01:33

Problema 2:
<BR>Sia g un generatore mod p allora la produttoria può essere scritta come
<BR>(g^a_1)*....*(g^a_phi(p-1))=g^(a_1 + a_2 +...+a_phi(p-1)).
<BR>Quindi è sufficiente dimostrare che a_1 + a_2 +...+a_phi(p-1) = 0 mod(p-1)
<BR>Gli a_i sono tutti e solo i numeri minori di p-1 e primi con esso.
<BR>Se un numero n è primo con p-1, allora, ovviamente, anche p-1-n è primo con p-1; quindi possiamo accoppiare i numeri della somma in modo da avere sempre termini=0 mod(p-1)del tipo a_i + (p-1 - a_i) ne segue(essendo phi(p-1) pari) che la somma di sopra è = 0 mod(p-1) e di conseguenza il prodotto è = 1 mod(p-1)
<BR>
<BR>Maledetto segno del minore <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: edony il 22-01-2005 15:01 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-22 15:00, edony wrote:
<BR>n° 2: sia g un generatore mod p allora la produttoria può essere scritta come
<BR>(g^a_1)*....*(g^a_phi(p-1)) = g^(a_1 + a_2 +...+a_phi(p-1)). Quindi è sufficiente dimostrare che a_1 + a_2 +...+a_phi(p-1) = 0 mod(p-1).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ineccepibile, almeno fin qui...
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>Gli a_i sono tutti e solo i numeri minori di p-1 e primi con esso.
<BR>Se un numero n è primo con p-1, allora, ovviamente, anche p-1-n è primo con p-1 [...]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Siamo d\'accordo anche su questo fronte, ma lasciami precisare (pedanteria!!!) che gli a<sub>i</sub> sono tutti e soli gli <!-- BBCode Start --><I>interi positivi</I><!-- BBCode End --> < p-1 e primi con esso...
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>[...] quindi possiamo accoppiare i numeri della somma in modo da avere sempre termini=0 mod(p-1)del tipo a_i + (p-1 - a_i) ne segue (essendo phi(p-1) pari) che la somma di sopra è = 0 mod(p-1) e di conseguenza il prodotto è = 1 mod(p-1)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Eh, no... Qui già non ci troviamo più d\'accordo! Innanzitutto, nota che la tua dimostrazione non tiene conto in alcun modo del fatto che la tesi non è vera nel caso singolare in cui sia p = 3 (btw, l\'unica radice primitiva mod 3 è g = 2, e chiaramente 2 =\\= 1 mod 3). Inoltre, la condizione circa la parità di phi(p-1) cui giustamente hai fatto riferimento vale sse p > 2. Quindi, prima di procedere, sarebbe cosa buona e giusta levarsi di torno, innanzitutto, il caso p = 2. Forse possono sembrare delle quisquilie, non oso dubitarlo, ma sommate nell\'insieme, di fatto, levano punti! Pertanto...
<BR>
<BR>A questo punto, veniamo al passaggio logico più risicato del tuo proof: per affermare che gli interi a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, ..., a<sub>phi(p-1)</sub> possono essere accoppiati di modo tale che la loro somma sia pari a p-1 dovresti prima provare che a<sub>i</sub> e (p-1) - a<sub>i</sub> sono <!-- BBCode Start --><I>distinti</I><!-- BBCode End --> per ogni i = 1, 2, ..., phi(p-1), altrimenti non se ne fa nulla!!!
<BR>
<BR>L\'idea dimostrativa è comunque interessante (e del tutto differente dalla mia). A questo punto, devi soltanto trovare il modo di tappare le falle...
<BR>
<BR>EDIT: manie...<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 22-01-2005 18:02 ]

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Messaggio da MASSO » 01 gen 1970, 01:33

Problema 3: determinare tutte e sole le terne (m,n,k) di interi positivi, con
<BR>k > 1, tali che: 1! + 2! + ... + m! = n^k.
<BR>
<BR>notiamo che per ogni q>=5 si ha q!==0 mod(10)
<BR>inoltre calcoliamo la somma dei primi quattro fattoriali ottenendo 33
<BR>siccome un quadrato non può essere congruo a 3 modulo 10 (i residui quadratici modulo 10 sono 1,4,5,6,9) allora m sarà sicuramente minore di 5 e calcolando risulta che può essere solamente 1 o 3; nel secondo caso otteniamo la terna (3,3,2), e nel primo le infinite terne (1,1,k) con k che può essere un qualsiasi numero naturale.
<BR>

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Messaggio da MASSO » 01 gen 1970, 01:33

Problema 10: essendo p un numero primo di N, calcolare tutte e sole le soluzioni in interi positivi dell\'equazione: 1/m + 1/n = 1/p.
<BR>
<BR>mp+np=mn
<BR>(m+n)p=mn
<BR>quindi per simmetria poniamo m=pm\'
<BR>(m+n)=nm\'
<BR>m=nm\'-n
<BR>m=n(m\'-1)
<BR>n=m/(m\'-1)
<BR>n=pm\'/(m\'-1)
<BR>quindi m\'-1 è divisibile per p e possiamo porre m\'-1=kp
<BR>n=(kp+1)p/kp
<BR>n=p+1/k
<BR>siccome n è intero per ipotesi k=1 quindi n=p+1 e m=(p+1)p

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-22 18:11, MASSO wrote:
<BR>Problema 3: notiamo che per ogni q >= 5 si ha q! == 0 mod(10)
<BR>inoltre calcoliamo la somma dei primi quattro fattoriali ottenendo 33
<BR>siccome un quadrato non può essere congruo a 3 modulo 10 (i residui quadratici modulo 10 sono 1,4,5,6,9) allora m sarà sicuramente minore di 5 e calcolando risulta che può essere solamente 1 o 3.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>i) Ok, tutto corretto, fin qui! Nota tuttavia che, così come hai fatto, avresti potuto più semplicemente operare mod 5, risparmiandoti qualche noioso conteggio... Tanto più che, seguendo la scelta suggerita, l\'impossibilità di risolvere in interi l\'eq. modulare n<sup>2</sup> = 3 mod 5 si sarebbe subito dedotta sfruttando le proprietà del simbolo di Legendre, ché infatti: Leg(3,5) = Leg(-2,5) = (-1)<sup>(5^2 - 1)/8</sup> = -1.
<BR>
<BR>ii) La tua soluzione copre (unicamente) gli infiniti casi in cui 2 | k. Tuttavia, non consente di concludere alcunché circa il caso duale in cui k = 1 mod 2.
<BR>
<BR>C\'è troppa faciloneria, qui in giro! Vediamo di darci una regolata... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
<BR>
<BR>EDIT: tutto cambia affinché nulla cambi...<font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 22-01-2005 20:01 ]

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Messaggio da HiTLeuLeR » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-22 18:32, MASSO wrote:
<BR>Problema 10: mp+np=mn ==> (m+n)p=mn
<BR>quindi per simmetria poniamo m=pm\'
<BR>(m+n)=nm\' ==> m=nm\'-n ==> m=n(m\'-1)
<BR>==> n=m/(m\'-1) ==> n=pm\'/(m\'-1)
<BR>quindi m\'-1 è divisibile per p e possiamo porre m\'-1=kp
<BR>n=(kp+1)p/kp
<BR>n=p+1/k
<BR>siccome n è intero per ipotesi k=1 quindi n=p+1 e m=(p+1)p
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Non proprio! Difatti, se n=pm\'/(m\'-1), allora necessariamente m\'-1 = p vel m\'-1 = 1. Nel primo caso: m\' = p+1, e si giunge alla conclusione cui tu stesso se\' pervenuto. Viceversa, nel secondo: m\' = 2, e si trova m = n = 2p.
<BR>
<BR>Ancora troppi errori, per un problema tanto facile... Davvero non va bene, nonnonno! Qui vi si dovrebbe mette\' tutti dentro una pressa e vede\' di tirarne fuori qualcosa di abbozzatamente buono! Suvvia, gentes, meditate... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: HiTLeuLeR il 22-01-2005 20:50 ]

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