esercizi di geometria da febbraio in su

In questo forum si discute delle Olimpiadi di Matematica

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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

1) ho raccolto un po\' di problemi di geometria
<BR><A href=\"http://linuz.sns.it/~samuele/geometria.ps\"> ECCOLI in .PS</A>
<BR><A href=\"http://linuz.sns.it/~samuele/geometria.pdf\"> ECCOLI in .PDF</A>
<BR>
<BR>
<BR>2) ho fatto un casino nel thread \"Maledetta geometria\" ... ho sbagliato a postare un link ed ho lasciato aperte delle virgolette all\'interno di un tag ... i browser sembrano non gradire... se magari l\'amministratore potesse cancellare il suddetto disastroso messaggio...
<BR>
<BR>
<BR><H3>Solutori & Soluzioni</H3>
<BR>
<BR><B>SEZIONE 1</B>
<BR>
<BR><I>Problema 1 </I> : Poliwhirl -- Similitudini e aree di figure simili
<BR>enomis_costa88 -- algebra
<BR>Boll -- algebra
<BR>
<BR><I>Problema 2</I> : Cu_Fa -- Trigonometria
<BR>Poliwhirl -- Similitudini
<BR>Cu_Fa (2) -- Similitudini
<BR>enomis_costa88 -- analitica
<BR>Boll -- analitica
<BR>
<BR><I>Problema 3</I> : Cu_Fa -- Similitudini
<BR>Poliwhirl -- T. di Pitagora, similitudini e contazzi
<BR>sprmnt21 -- Similitudini
<BR>enomis_costa88 -- analitica
<BR>Boll -- algebra
<BR>
<BR><I>Problema 4</I> : Poliwhirl -- Rapporti tra le aree di figure simili
<BR>enomis_costa88 -- algebra
<BR>Boll - similitudini
<BR>
<BR><I>Problema 5</I> : Boll -- contazzi
<BR>
<BR><I>Problema 6</I> : enomis_costa88 -- geometria analitica
<BR>Boll -- contazzi
<BR>
<BR><B>SEZIONE 2</B>
<BR>
<BR><I>Problema 1</I> : enomis_costa88 -- II T. di Euclide
<BR>Boll -- II T. di Euclide
<BR>
<BR><I>Problema 2</I> : marco -- angoli retti & co.
<BR>enomis_costa88 -- angoli retti & co.
<BR>Boll -- angoli retti & co.
<BR>
<BR><I>Problema 3</I> : enomis_costa88 -- II T. di Euclide
<BR>Boll -- similitudini
<BR>
<BR><I>Problema 4</I> : Boll -- trigonometria
<BR>
<BR><I>Problema 5</I> : Boll -- Pitagora
<BR>Poliwhirl -- Pitagora
<BR>
<BR><I>Problema 6</I> : enomis_costa88 -- similitudini
<BR>Boll -- analitica
<BR>
<BR><I>Problema 7</I> : sprmnt21 -- l\'unica strada
<BR>Boll -- l\'unica strada
<BR>
<BR><I>Problema 8</I> : marco -- potenza di un punto rispetto alla circonferenza
<BR>sprmnt21 -- secante e tangente
<BR>enomis_costa88 -- geometria analitica
<BR>
<BR><B>SEZIONE 3</B>
<BR>
<BR><I>Problema 1</I> : Boll -- angoli
<BR>enomis_costa88 -- angoli
<BR>
<BR><I>Problema 2</I> : Boll -- angoli
<BR>enomis_costa88 -- angoli
<BR>
<BR><I>Problema 3</I> : enomis_costa88 -- angoli
<BR>Boll -- angoli
<BR>
<BR><I>Problema 4</I> : Boll -- angoli
<BR>enomis_costa88 -- angoli
<BR>
<BR><I>Problema 5</I> : Boll -- angoli
<BR>enomis_costa88 -- angoli
<BR>
<BR><I>Problema 6</I> : Boll -- angoli e corde sottese
<BR>enomis_costa88 -- angoli e corde sottese
<BR>
<BR><I>Problema 7</I> : enomis_costa88 -- triangoli rettangoli, coincidenza tra ceviane notevoli
<BR>Boll -- Talete, triangoli rettangoli, triangoli notevoli
<BR>
<BR><I>Problema 8</I> : enomis_costa88 -- triangoli notevoli
<BR>
<BR><B>SEZIONE 4</B>
<BR>
<BR><I>Problema 3</I> : Sisifo -- Triangoli rettangoli inscritti
<BR>
<BR><I>Problema 4</I> : Boll -- angoli su archi uguali \"special case\"
<BR>
<BR><I>Problema 5</I> : karl -- angoli e teorema della bisettrice
<BR>Boll -- angoli, angoli e angoli
<BR>
<BR><I>Problema 6</I> : enomis_costa88 -- trasporto d\'angoli
<BR>
<BR><I>Problema 8</I> : Mind<Font size=16>F</font>lyer -- Tolomeo, similitudini
<BR>
<BR><B>SEZIONE 5</B>
<BR>
<BR><I>Problema 6</I> : frengo -- somma e differenza di aree, vettori
<BR>
<BR><I>Problema 7</I> : karl -- proiezioni sui lati, trigonometria e contazzi
<BR>
<BR><B>SEZIONE 6</B>
<BR>
<BR><I>Problema 2</I> : marco -- contando gli spigoli // contando i vertici
<BR>
<BR><B>SEZIONE 7</B>
<BR>
<BR><I>Problema 1</I> : Sisifo -- omotetia+half turn
<BR>
<BR><I>Problema 3</I> : Sisifo -- trapezi inscritti
<BR>enomis_costa : angoli e parallelismi
<BR>
<BR><I>Problema 4</I> : Sisifo -- rotazione + omotetia
<BR>
<BR><I>Problema 5</I> : marco -- omotetia
<BR>MindFlyer -- omotetia (involontario, su un altro thread)
<BR>
<BR><B>SEZIONE Infinito</B>
<BR>
<BR><I>Problema 5</I> : frengo -- numeri complessi
<BR>
<BR><H3>--------The End--------</H3><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 07-02-2005 13:13 ]

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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Ok, ora il file si legge tranquillamente. Grazie, Evariste. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
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Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

Anch\'io,come genius,ho parecchi problemi con la geometria:soprattutto le similitudini <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">!Bestemmie a parte,sono riuscito a risolvere il 2°...C\'è un modo più elegante(sintetico) di risolverlo?!?
<BR>
<BR><font color=white>Indicando con x l\'angolo AMB e con y quello CBN si ricava che tgx=2 e tgy=1/2.Il triangolo BMH è quindi retto(2 angoli che hanno tangenti reciproche sono complementari).
<BR>Da tgx=1/2 si ricava che cosx=2*sqrt5/5-->MH=l*sqrt5/5 e HB=l/2*senx=l*sqrt5/10
<BR>L\'area del triangolo è quindi:
<BR>A=MH*HB/2=l^2/20</font>
<BR>
<BR><font color=white>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 18-01-2005 07:47 ]
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR></font><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 18-01-2005 07:48 ]

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Sisifo
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Messaggio da Sisifo » 01 gen 1970, 01:33

Qualcuno per favore mi può dire dove si può reperire un software per laggere il formato ps? Grazie.
"Non è certo che tutto sia incerto"(B. Pascal)
Membro dell'associazione "Matematici per la messa al bando del sudoku" fondata da fph

Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

Ci sono vari programmi per leggere/convertire i files ps:
<BR>-Adobe distiller(convertitore ps-->pdf)
<BR>-Ghostscript(lettore)
<BR>-Paint Photoshop(lettore)
<BR>-Adobe PhotoShop(lettore)
<BR>e tanti altri...
<BR>
<BR>Quanto al 3° esercizio il raggio mi viene 1/2(aspetto comferme...)
<BR>
<BR>
<BR>

EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Uhm .. Cu_Fa ... te lo sei detto da solo.
<BR>Hai problemi con le similitudini ? beh usale!!
<BR>Ti ricordo che se due figure sono simili e il rapporto tra le loro dimensioni lineari è k, allora il rapporto tra le loro aree è k^2.
<BR>Ad es per due triangoli ABC e DEF tali che AB/DE=BC/EF=CA/FD=k, averemo che
<BR>Area(ABC)/Area(DEF)=k^2.
<BR>Detto questo...il triangolo MBH non è simile a qualche altro triangolo nella figura di cui tu conosci l\'area? e in che rapporto stanno i lati?
<BR>
<BR>Inoltre, per dimostrare che un angolo di un triangolo è retto, basta far vedere che gli altri due sono complementari.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 18-01-2005 21:38 ]

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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Allora, provo a risolvere l\'esercizio 2 della Sezione 1 con le similitudine (la soluzione è in bianco, nel caso qualcun altro volesse allenarsi):
<BR>
<BR>2. Sia ABCD un quadrato di lato l e siano M e N i punti medi di BC e CD; sia H l\'intersezione di AM e BN. Si determini l\'area di MBH.
<BR><font color=white>
<BR>I triangoli ABM e BCN sono congruenti, in quanto: AB=BC, BM=NC, ^ABM=^BCN=90° ; quindi ^NBC=^MAB e ^AMB=^BNC . Consideriamo ora il triangolo MBH: ^MBH=^NBC e ^HMB=^AMB ; possiamo dunque dire che il triangolo MBH e il triangolo ABM sono simili, in quanto: ^HMB=^AMB , ^MBH=^MAB (usando la transitività dalle relazioni trovate precedentemente) e quindi anche il terzo angolo ^BHM=^MBA=90°. Segue che poiché AM/MB=sqrt(5) (AM calcolato col teorema di Pitagora) allora Area(ABM)/A(MBH)=5 . Ponendo A(MBH)=x allora avremo A(ABM)=5x ; poiché A(ABM)=(l*l/2)/2=l<sup>2</sup>/4 allora x=A(MBH)=l<sup>2</sup>/20 .
<BR><font color=black>
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
<BR>
<BR>EDIT: Grazie Evariste, ho corretto...
<BR><font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 18-01-2005 23:55 ]
POLIWHIRL

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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Poli, sei proprio sicuro dei calcoli ? Non ho guardato tutto, solo il risultato, quindi non posso dirti dove hai sbagliato, ma posso dirti che lo hai fatto.
<BR>Ricontrolla.

Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-18 21:36, EvaristeG wrote:
<BR>Uhm .. Cu_Fa ... te lo sei detto da solo.
<BR>Hai problemi con le similitudini ? beh usale!!
<BR>Ti ricordo che se due figure sono simili e il rapporto tra le loro dimensioni lineari è k, allora il rapporto tra le loro aree è k^2.
<BR>Ad es per due triangoli ABC e DEF tali che AB/DE=BC/EF=CA/FD=k, averemo che
<BR>Area(ABC)/Area(DEF)=k^2.
<BR>Detto questo...il triangolo MBH non è simile a qualche altro triangolo nella figura di cui tu conosci l\'area? e in che rapporto stanno i lati?
<BR>
<BR>Inoltre, per dimostrare che un angolo di un triangolo è retto, basta far vedere che gli altri due sono complementari.
<BR>
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Vediamo di applicare queste maledette similitudini!
<BR><font color=white> I triangoli NCB e HMB sono simili(per cui seguendo tutto quel discorso che ha fatto Evariste):
<BR>MB/NB=k-->k=[l/2]/[l*sqrt3/2]=sqrt3/3
<BR>A(HMB)/A(NCB)=1/3
<BR>Siccome A(NCB)=l<sup>2</sup>/4 Allora A(HMB)=l<sup>2</sup>/12
<BR>Non pensavo che si potessero applicare le similitudini anche per le aree <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif"></font>
<BR>PS.Come si fanno gli \"indici\"?!
<BR>
<BR>
<BR> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Cu_Fa il 19-01-2005 06:36 ]

Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

Ho fatto il disegno per bene,prendendo l=5 e ho notato che l\'altezza del triangolo BHM è 1 ovvero 1/5l,per cui l\'area dovrebbe essere l<sup>2</sup>/20..Why?!?

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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-19 06:30, Cu_Fa wrote:
<BR>
<BR>I triangoli NCB e HMB sono simili(per cui seguendo tutto quel discorso che ha fatto Evariste):
<BR>MB/<!-- BBCode Start --><B>NB</B><!-- BBCode End -->=k-->k=[l/2]/<!-- BBCode Start --><B>[l*sqrt3/2]</B><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Credo sia qui l\'errore...NB non è uguale a (l/2)*sqrt(3)...
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
POLIWHIRL

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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Sezione 1, problema 1:
<BR>1. Sia ABC un triangolo e siano A<sub>1</sub> e B<sub>1</sub> due punti sui lati AC e BC rispettivamente; sapendo che AA<sub>1</sub>=(1/5)AC, che BB<sub>1</sub>=(1/5)BC e che l\'area del quadrilatero ABB<sub>1</sub>A<sub>1</sub> è 45 cm<sup>2</sup> trovare l\'area del triangolo ABC.
<BR><font color=white>
<BR>Per l\'inverso del teorema di Talete A<sub>1</sub>B<sub>1</sub> // AB, quindi i triangoli ABC e A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C sono simili.
<BR>A<sub>1</sub>C=(4/5)AC , quindi A<sub>1</sub>C/AC=4/5 . Poniamo x=Area(A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C); allora Area(ABC)=45+x; possiamo dunque scrivere A(A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C)/A(ABC)=(4/5)<sup>2</sup> cioè x/(45+x)=16/25 da cui x=A(A<sub>1</sub>B<sub>1</sub>C)=80; quindi A(ABC)=(80+45)cm<sup>2</sup>=125 cm<sup>2</sup> .
<BR><font color=black>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl# <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 19-01-2005 12:55 ]
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

Ah ecco! NB=l*sqrt5/2...Poi i conti tornano!

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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Ciao.
<BR>
<BR>2.2
<BR>----------------
<BR><font color = white>Sia = O il centro della crf, ossia il p.to medio di BC.
<BR>BFD è suppl a BOD [quadrilatero BODF, con due angoli retti], quindi BFD = DOC = 2 DBC [teo angolo al centro]. BDC è simile ad ABC [entrambi rettangoli, con un vertice in comune], quindi BAC = BCA. </font> []
<BR>
<BR><font color = white>Faccio prima il 5° bullet: DF = FB, dato che sono i due segmenti di tangenza uscenti da F. </font>[]
<BR>
<BR><font color = white>Per il p.to precedente, FDB = FBD. ABD è simile a ACB [rett. vertice in comune]. ADB è retto [compl. a BDC, che è inscritto in 1/2crf], quindi FDA è compl a FDB = FBD = ABD = ACB, che è compl. a BAC = DAF. Perciò FDA = DAF. Allora DAF è iso. e AF = FD. </font>[]
<BR>
<BR><font color = white>Il 3° è falso. Infatti, ho già mostrato che FDA e FDB sono complementari. Possono essere uguali sse sono 45°. Ma per hp. ABC non è iso. </font>[]
<BR>
<BR><font color = white>Segue dal 2° e dal 5°. </font>[]
<BR>----------------
<BR>
<BR>Ciao.
<BR>
<BR>M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."

Cu_Fa
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Messaggio da Cu_Fa » 01 gen 1970, 01:33

Il 3° sezione 1:
<BR><font color=white>Indichiamo con O\' e O\'\' i centri delle 2 circonferenze e con M ed N rispettivamente le loro proiezioni su una delle 2 tangenti.Indiamo inltre con P il punto della circonferenza C\'\' più vicino a V,e con d la distanza PV.
<BR>Dalla similitudine dei triangoli VO\'M e VO\'\'N si ricava che:
<BR>R\'/R\'\'=(R\'+2R\'\'+d)/(R\'\'+d)
<BR>e sostituendo a R\' 1 e a R\'+2R\'\'+d=3
<BR>1/R\'\'=3/(R\'\'+d).
<BR>Infine sostituendo a d l\'espressione 3-R\'-2R\'\',cioè 2-2R\'\' si ricava un\'equazione nella sola ingognita R\'\'.
<BR>1/R\'\'=3/(2-R\'\')-->R\'\'=1/2
<BR>
<BR><font color=black>
<BR>

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