esercizi di geometria da febbraio in su

In questo forum si discute delle Olimpiadi di Matematica

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enomis_costa88
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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

Esercizio3 sezione numero7
<BR>
<BR><font color= white>
<BR>Chiamati ABCDE i vertici del pentagono, si chiamano a gli angoli insistenti sull’arco AB, b quelli su BC c quelli su CD d quelli su DE ed e quelli su EA. A questo punto si nota che l’angolo c=b, e=d, b=a c=d perché sono angoli formati tra segmenti //(lati e diagonali). Per transitività il pentagono ha tutti gli angoli (che valgono 3a…) congruenti. I triangoli EDC,DCB,CBA,BAE,AED sono tutti isosceli con la diagonale per base quindi i lati sono congruenti. È una mia impressione o i poligoni con un numero dispari di lati se hanno tutti gli angoli congruenti sono anche equilateri???
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: enomis_costa88 il 05-02-2005 21:32 ]
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Sisifo
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Messaggio da Sisifo » 01 gen 1970, 01:33

Enomis, non mi ritengo un grande esperto, ma credo di no... Forse vale una versione più ristretta del tuo enunciato, quando il poligono è anche ciclico...[addsig]
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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-03 15:55, enomis_costa88 wrote:
<BR>È una mia impressione o i poligoni con un numero dispari di lati se hanno tutti gli angoli congruenti sono anche equilateri???
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>No, Enomis. E\' vero solo per i triangoli. Prendi un N.-agono qualunque, con A, B, C, D vertici adiacenti. Cancella il lato BC. Definisci B\' (risp. C\') sul prolungamento di AB (CD) dal lato di B (C ), in modo che BB\' = CC\'. Il poligono con AB\'C\'D e tutti gli altri vertici è equiangolo, ma non equilatero.
<BR>
<BR>Alternativamente, puoi tracciare una retta parallela a BC che tagli i lati AB e CD. Definisci B\' e C\' sulle intersezioni, ecc...<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: marco il 03-02-2005 16:18 ]
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-03 15:55, enomis_costa88 wrote:
<BR>Esercizio3 sezione numero7
<BR>c=b, e=d, b=a c=d perché sono angoli formati tra segmenti //(lati e diagonali).</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Mmmm.... o lo hai ben chiaro e ti sei espresso troppo sinteticamente, o hai scambiato le lettere. Forse uno sforzettino in più per farsi capire non ci sarebbe stato male... tra due giovedì, cerca di scrivere meglio.
<BR>
<BR>Interpreto la frase incriminata come
<BR>
<BR>\"AD e BC sono paralleli [per ipotesi]. Il segmento AC è una trasversale, che ha gli angoli ACB (=a) e CAD (=c) alterni interni, quindi congruenti.\"
<BR>
<BR>Altrimenti non capisco che significhi \"gli angoli formati tra segmenti paralleli\".
<BR>
<BR>Da questo dimostri a=c e rotazioni. (non a=b e rotazioni, come scrivi). Poi ti faccio notare una scorciatoia: una volta che hai dimostrato che gli angoli (e quindi gli archi sottesi) sono congruenti, anche le corde sono congruenti, e quindi i lati uguali.
<BR>
<BR>Bonus question: chi sa trovare un controesempio di un pentgono non regolare, con i lati paralleli alle diagonali?[addsig]
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-03 15:58, Sisifo wrote:
<BR>Enomis, non mi ritengo un grande esperto, ma credo di no... Forse vale una versione più ristretta del tuo enunciato, quando il poligono è anche ciclico...</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Sì, Sisifo ha ragione:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Teorema di Sisifo</B><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><I>Un poligono ciclico con un numero dispari di lati equiangolo è regolare. Se invece ha un numero pari di lati non è necessariamente vero.</I><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Chi lo dimostra? E chi trova un controesempio al caso pari?
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-03 16:47, marco wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-03 15:58, Sisifo wrote:
<BR>Enomis, non mi ritengo un grande esperto, ma credo di no... Forse vale una versione più ristretta del tuo enunciato, quando il poligono è anche ciclico...</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Sì, Sisifo ha ragione:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Teorema di Sisifo</B><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><I>Un poligono ciclico con un numero dispari di lati equiangolo è regolare. Se invece ha un numero pari di lati non è necessariamente vero.</I><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Chi lo dimostra? E chi trova un controesempio al caso pari?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Eh sì ... ed è questo che rendeva particolarmente incasinato l\'IMO 2003.3 (che chiude la mia raccolta).
<BR>
<BR>Gente, pazientate, da martedì avrò tempo e sistemero ed aggiornerò i solutori e le soluzioni (ancora due esami ... pant pant ... di cui uno tra meno di 7 ore).
<BR>
<BR>bye<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 04-02-2005 14:23 ]

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-03 16:47, marco wrote:
<BR><!-- BBCode Start --><B>Teorema di Sisifo</B><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><I>Un poligono ciclico con un numero dispari di lati equiangolo è regolare. Se invece ha un numero pari di lati non è necessariamente vero.</I><!-- BBCode End -->
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR><!-- BBCode Start --><B>Secondo Teorema di Sisifo</B><!-- BBCode End --> (in mancanza di nomi migliori)
<BR><!-- BBCode Start --><I>Un poligono ciclico con un numero pari di lati equiangolo, o è equilatero, oppure ha i lati di due sole misure diverse, e tali misure si alternano da un lato all\'altro.</I><!-- BBCode End -->

MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-04 02:33, EvaristeG wrote:
<BR>Eh sì ... ed è questo che rendeva particolarmente incasinato l\'IMO 2003.6 (che chiude la mia raccolta).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Sempre for Pignolery\'s sake, era l\'IMO 2003.3.
<BR>Lo so, lo so, volete tutti ringraziarmi per questa rivelazione. Orsù, contenetevi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-03 16:47, marco wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-03 15:58, Sisifo wrote:
<BR>Enomis, non mi ritengo un grande esperto, ma credo di no... Forse vale una versione più ristretta del tuo enunciato, quando il poligono è anche ciclico...</BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Sì, Sisifo ha ragione:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Teorema di Sisifo</B><!-- BBCode End -->
<BR><!-- BBCode Start --><I>Un poligono ciclico con un numero dispari di lati equiangolo è regolare. Se invece ha un numero pari di lati non è necessariamente vero.</I><!-- BBCode End -->
<BR>
<BR>Chi lo dimostra? E chi trova un controesempio al caso pari?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>
<BR>per il controesempio, basta prendere un rettangolo che e\' ciclico, equiangolo ma non equilatero (in generale).
<BR>
<BR>per la prova, si osservi che per un poligono ciclico equiangolo, indicati con s_i i suoi lati, si ha che i lati contigui ad un qualsiasi lato sono uguali. Cioe\' si ha che, ad esempio,:
<BR>
<BR>s_1 = s_3 = ... = s_(2n+1)
<BR>
<BR>
<BR>Ma nel caso di un numero dispari di lati s_(2n+1) e\' contiguo ad s_1, quindi si ha anche:
<BR>
<BR>s_(2n+1) = s_2 = s_4 = ... = s_(2n).
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>

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Sisifo
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Messaggio da Sisifo » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Secondo Teorema di Sisifo</B><!-- BBCode End --> (in mancanza di nomi migliori)
<BR><!-- BBCode Start --><I>Un poligono ciclico con un numero pari di lati equiangolo, o è equilatero, oppure ha i lati di due sole misure diverse, e tali misure si alternano da un lato all\'altro.</I><!-- BBCode End -->
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Purtroppo sono stato battuto in velocità da chi è sicuramente più degno di me nella dimostrazione del teorema a me omonimo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> ...
<BR>Riesco quindi solo ad usare praticamente lo stesso metodo per dimostrare il secondo teorema:
<BR> Innanzitutto noto con sommo gaudio che non è stato dimostrato che se AB, BC, CD sono lati consecutivi di un poligono equiangolo ciclico allora AB=CD. Ciò segue semplicemente dal fatto che A^BC=B^CD, e quindi, poichè ABCD è ciclico, che C^DA=180-A^BC=180-B^CD, e quindi ABCD è un trapezio, isoscele perchè ciclico. Infine si può perciò dire che AB=CD
<BR>Affrontiamo il problema di petto. Numeriamo i lati del poligono da 1 a 2n. Per quanto detto prima tutti i lati numerati con un numero dispari saranno congruenti, e tutti i lati numerati con un numero pari lo stesso. Da qui segue la tesi.
<BR>Noto inoltre dalla dimostraziuone della prima parte che si può ricavare il
<BR><B>Terzo teorema di Sisifo</B>
<BR>In un poligono equiangolo ciclico con più di quattro lati, per ogni lato AB esiste almeno una diagonale parallela ad esso.
<BR>La domanda che vorrei porre è adesso: questa proprietà caratterizza completamemente i poligoni equiangli ciclici?
<BR>PS Non conosco la rispoma propenderei per il no...
<BR>
<BR>\"Non è certo che tutto sia incerto\"(B. Pascal)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Sisifo il 04-02-2005 15:19 ]
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MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-04 15:18, Sisifo wrote:
<BR>Affrontiamo il problema di petto.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Lol, questa mi mancava!!
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>La domanda che vorrei porre è adesso: questa proprietà caratterizza completamemente i poligoni equiangli ciclici?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>No, puoi facilmente costruirti un controesempio per ogni poligono. Prendi un poligono regolare ed applicagli una trasformazione affine (che come sappiamo conserva il parallelismo). Ad esempio, puoi dilatarlo in una direzione. Vedi bene che così non è più ciclico, nè equiangolo.

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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

@Marco intendevo proprio questo\"AD e BC sono paralleli [per ipotesi]. Il segmento AC è una trasversale, che ha gli angoli ACB (=a) e CAD (=c) alterni interni, quindi congruenti.\"
<BR>...spero anche io d\'essere più chiaro giovedì 17..
<BR>
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Dunque ...
<BR>
<BR>@Boll : il 4.2 non lo accetto !! uno degli scopi è l\'imparare a fare un disegno
<BR>nel 4.3 perchè i 4 punti sono conciclici e quello è un diametro?
<BR>nel 4.4 potresti sprecare due parole di più per spiegare le uguaglianze tra angoli
<BR>nel 4.5 sei arrivato alla soluzione ben prima di metà del tuo sproloquio e non te ne sei accorto.
<BR>
<BR>@marco : nel 6.3, sei sicuro??

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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-22 16:42, enomis_costa88 wrote:
<BR>Certo che con tutto il lavoro che stiamo facendo non credo che le 6 pagine dureranno fino alla prova di febbraio....
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Eh, mai dubitare dell\'osticità della geometria (solida, soprattutto).

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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

@EvaristeG(che penso stia per Galois): su ciò che ho detto mi devo ricredere!!! penso che molti (almeno per me è così, non pretendo che debba esserlo per tutti!!!) abbiano abbandonato questo tread(non so come si scrive...ne se è il termine giusto)perchè non ci si può preparare solo su geometria...e PURTROPPO il tempo è pochissimo mancano solo6 giorni alla prova..in ogni caso mi sembra che gli esercizi rimasti siano i più difficili(magari è solo un\'impressione anche perchè ormai sarà una settimana che non guardo più geometria e finchè non provi a risolvere un\'esercizio non puoi sapere quanto è difficile).Credo che finita la prova con più calma anche gli esercizi rimasti potranno essere affrontati magari come allenamento per Cesenatico (non sarà il mio caso probabilmente visto che a Brescia ci saranno almeno una decina di persone più pronte di me)
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