esercizi di geometria da febbraio in su

In questo forum si discute delle Olimpiadi di Matematica

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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Finalmente il primo quadrimestre è finito <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> ...ora posso dedicarmi un pò alla geometria...Vedo che la risoluzione dei problemi è andata avanti...appena avrò la costanza di postare le mie soluzioni, lo farò...per ora posto quella del problema 5, sezione 2, della quale ho trovato un riultato diverso da quello di Boll...ringrazio chiunque abbia la costanza di correggere la mia soluzione e trovare l\'eventuale errore...
<BR>Sezione 2, problema 5
<BR>5. Sia C<sub>1</sub> una circonferenza di raggio 1 e centro O; siano C<sub>2</sub>, C<sub>3</sub> due circonferenze dello stesso raggio tangenti tra loro in O e tangenti a C<sub>1</sub> in punti diametralmente opposti. Sia tracci una quarta circonferenza C<sub>4</sub>, più piccola delle precedenti, tangente internamente a C<sub>1</sub> e esternamente a C<sub>2</sub> e C<sub>3</sub>. Calcolare il raggio di C<sub>4</sub>.
<BR><font color=white>
<BR>Chiamiamo O<sub>2</sub>, O<sub>3</sub> e O<sub>4</sub> i centri rispettivamente delle circonferenze C<sub>2</sub>, C<sub>3</sub> e C<sub>4</sub>. Si nota subito che i raggi delle circonferenze C<sub>2</sub> e C<sub>3</sub> sono uguali alla metà del raggio di C<sub>1</sub>, cioè sono O<sub>2</sub>O=OO<sub>3</sub>=1/2 . Consideriamo il triangolo O<sub>2</sub>O<sub>3</sub>O<sub>4</sub> ; poniamo il raggio di C<sub>4</sub> uguale a x, e il segmento che va dal centro di C<sub>1</sub> al primo punto che incontra di C<sub>4</sub> uguale a y; abbiamo O<sub>2</sub>O<sub>4</sub>=O<sub>3</sub>O<sub>4</sub>=1/2+x , cioè il triangolo O<sub>2</sub>O<sub>3</sub>O<sub>4</sub> è isoscele e quindi essendo O<sub>4</sub>O mediana, è anche altezza e risulta O<sub>4</sub>OO<sub>2</sub>=90° . Possiamo scrivere il sistema:
<BR>(x+1/2)^2-(1/2)^2=(x+y)^2 (T. di Pitagora)
<BR>2x+y=1 (Il raggio di C<sub>1</sub> è uguale a 1)
<BR>Risolvendo il sistema (con calcoli molti semplici) otteniamo x=1/3 che è il raggio che cercavamo.
<BR>Ho provato a costruire un disegno anche con Derive e mi trovo...se ho sbagliato probabilmente non ho capito il testo del problema...
<BR><font color=black>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl# <font color=white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 30-01-2005 17:41 ]
POLIWHIRL

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Visto che Evariste è stato velocerrimo ne posto un altro escrivo le ultime osservazioni sul 3.6 così non mi dice che ho \"abbozzato\" <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif">
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>[3.6 Final] Giunti al punto precedente CLM risulta avere tre lati congruenti, quindi è equilatero e equiangolo e possiamo segnare i suoi tre angoli 60 gradi. L\'angolo BMH=180-120=60, quindi BHM è un triangolo isoscele con l\'angolo al vertice di 60 gradi, quinid equilatero. Sempre per sottrazione ALH=AHL=180-120=60 gradi, LAH=180-120=60. Quindi ACB=ABC=BAC=60 e la tesi è dimostata.
<BR>
<BR>Sezione 4
<BR>
<BR>Problema 1: Mi viene un risultato strano, ditemi dove sbaglio. Tracciamo i tre diametri delle circonferenze che formano un triangolo equilatero e di tale triangolo tracciamo le tre congiungenti i punti medi, formando un altro triangolo equilatero, di lato unitario. Chiamiamo x l\'area di tale triangolo e a l\'area di un qualsiasi arco di circonferenza sotteso fra un lato di tale triangolo o di un segmento congruente ad esso. Per il principio di Inclusione-Esclusione avremo che l\'area totale della figura è:
<BR>3*pi-3(4a+2x)+3a+x
<BR>ma tale area si può scrivere anche come la somma di tre semicirconferenze e del triangolo equilatero \"grande\" quindi:
<BR>3/2*pi+4x
<BR>confrontando le due formule avremo
<BR>3/2*pi-9(a+x)=0
<BR>a+x=pi/6, poichè x=sqrt(3)/2
<BR>a=pi/6-sqrt(3)/2
<BR>quindi l\'area cercata, cioè x+3a, risulta essere
<BR>pi/2-sqrt(3)
<BR>
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Evariste puoi dirmi la soluzione numerica del problema 2, sezione 4?? A me viene un risultato un pò strano...
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

In effetti è un po\' strano (4 - pi)(3-2sqrt(2)) ma neanche poi molto.
<BR>
<BR>Ehm ... Boll ... rifatti i conti del 4.1 ... il principio di I-E va anche bene, ma semplifichiamoci la vita, se si può.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: EvaristeG il 31-01-2005 00:58 ]

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frengo
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Messaggio da frengo » 01 gen 1970, 01:33

Sezione --->inf , n°5
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>Numeri complessi
<BR>poniamo A il centro del nostro piano gaussiano e b e c i nostri numeri complessi che rappresentano i segmenti da A a B e da A a C(per comodità immaginiamoci AC sull\'asse reale e AB nel primo(o secondo)quadrante, l\'importante è che B preceda C in senso orario).
<BR>AY=(b+bi)/2
<BR>AZ=(c-ci)/2
<BR>YZ=AY-AZ=(b+bi-c+ci)/2
<BR>
<BR>CX=[(b-c)-(b-c)i]/2
<BR>AX=AC+CX=c+ [(b-c)-(b-c)i]/2=(b+c-bi+ci)/2
<BR>
<BR>e ora verifichiamo che AX*i=YZ(ovvero che AX e YZ sono congruenti e perpendicolari)
<BR>AX*i=i(b+c-bi+ci)/2=(bi+ci+b-c)/2=YZ
<BR></font>
<BR>spero di non aver sbagliato nulla.
<BR>Ciao a tutti
<BR>Francesco

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frengo
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Messaggio da frengo » 01 gen 1970, 01:33

sezione 5, n°6
<BR>
<BR><font color=white>
<BR>L\'area del triangolo A\'B\'C\' si ottiene, chiaramente, sottraendo dall\'area del triangolo(che chiameremo S)l\'area dei tre triangolini A\'BB\',B\'CC\',C\'AA\'.
<BR>l\'area di ciascuno di questi triangoli è S*(n-1)/n<sup>2</sup>, perchè la base è 1/n per la base di ABC, e l\'altezza(per Talete) (n-1)/n per l\'altezza del triangolo ABC.
<BR>Il rapporto tra le due aree è quindi 1 - 3(n-1)/n<sup>2</sup>=n<sup>2</sup>-3n+3/n<sup>2</sup>
<BR>
<BR>Per la seconda parte del quesito utilizzo i miei beneamati vettori:
<BR>chiamo O un qualsiasi punto del piano e a,b e c i tre vettori OA,OB e OC.Il baricentro di ABC è (a+b+c)/3, il baricentro di A\'B\'C\' è
<BR>[b+(1/n)(c-b)+a+(1/n)(b-a)+c+(1/n)(a-c)]/3=(a+b+c)/3
<BR></font>

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

Sezione 5 N° 7
<BR>
<BR>
<BR>un\'altra costante in questa configurazione e\' la somma dei quadrati delle distanze di P dai vertici. Piu\' precisamente
<BR>
<BR>(*) PA^2+PB^2+PC^2 = 3(R^2+d^2), dove R=GA e d=PG.
<BR>
<BR>Si puo\' da questo concludere che due triangoli che abbiano la stessa (*) abbiano la stessa area?
<BR>
<BR>Oppure che due triangoli equivalenti abbiano la stessa (*)?
<BR>
<BR>PS
<BR>
<BR>domanda aperta (per quanto ne so io): e\' vero che il luogo dei punti tali che (*) sia costante, nel caso di un generico triangolo ABC, e\' ancora un cerchio?
<BR>
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 31-01-2005 10:47 ]

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Tutti snobbano geometria solida?
<BR>
<BR>Es. 6.2
<BR><font color = white>
<BR>Il cubo ha 12 spigoli, il tetraedro ne ha 6, di cui 3 anche spigoli del cubo e 3 no.
<BR>
<BR>Il solido risultante ha tutti gli spigoli del cubo che non sono spigoli del tetraedro (restano spigoli anche nel solido risultante) [9] + gli spigoli del tetraedro che non sono spigoli del cubo (sono nuovi spigoli, generati dalla sezione) [3] + gli spigoli del cubo e del tetraedro che restano dopo la sezione [2] (essi sono AB e CD; BC invece viene tolto, in quanto entrambe le facce che vi concorrono sono dimezzate). Totale: 14 spigoli. </font>[]
<BR>
<BR>Soluzione alternativa. <font color = white>Calcolo il numero di vertici: la sezione non genera nuovi vertici. Tutti i vertici del cubo sono anche vertici del solido dopo la sezione (ognuno dei p.ti A, B, C, D è raggiunto da uno spigolo del cubo che non è uno spigolo del tetraedro). Quindi il nuovo solido ha 8 vertici (gli stessi del cubo).
<BR>
<BR>Calcolo il numero di facce: le facce del cubo sono facce del nuovo solido (tranne le facce di ABC e BCD, che risultano dimezzate, ma contano comunque come due facce. Le facce nuove generate dalla sezione sono le facce del tetraedro non complanari a facce del cubo. Esse sono due (ABD e ACD). Quindi il solido ha 8 facce.
<BR>
<BR>Applico la formula di Euler (q.m.) 8 + 8 = S + 2, da cui S = 14. </font>[]
<BR>
<BR>E poi una domanda per Evariste: non ho visto accreditato il mio sketch di soluzione per il pb. 7.5. E\' voluto perché (a) troppo sketchoso, (b) non è stato visto; (c) è cannato; (d) i dati forniti sono insufficienti (e) nessuna delle precedenti?
<BR>
<BR>EDIT: quindi (e). Ok. non importa se non correggi, mi bastava che non fosse completely canned.
<BR>
<BR>Ciao a tutti. M.
<BR>
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<BR>If you don\'t try you\'ll never know /
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

@frengo : ok, le tue sol sono impeccabili (una però non è farina del tuo sacco ... risale a settembre, esempio di utilizzo dei num complessi in geometria by Max Gobbino), anche se non proprio euclidee.
<BR>
<BR>@sprmnt21 : premesso che quella relazione sta alla base della soluzione del 5.7 che ho in mente io, vorrei chiederti di chiarire a quali triangoli ti stai riferendo con le tue domande...sarò scemo io, ma non capisco se parli di triangoli equilateri, triangoli generici, triangoli formati da segmenti come nel problema. (btw, credo che nel caso più sfortunato possa essere una generica conica, il luogo di cui parli).
<BR>
<BR>@marco : beh ... ok, la tua sol è corretta, se proprio vuoi la segno, ma non vale, la sapevi già!! Cmq, hai ragione ... povera geometria solida, datele un po\' d\'attenzione, su.

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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

Messaggio contenente uno sciocchissimo errore di calcolo (pensavo che 130-90 fosse 20 al posto che 40...)Vedrò di rimediare il prima possibile..cmq conteneva la dimostrazione del 6 sezione4(anzi in realtà proprio per quell\'errore pensavo che la tesi fossse falsa..)<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: enomis_costa88 il 31-01-2005 14:18 ]
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Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-31 14:01, enomis_costa88 wrote:
<BR>C\'è l\'esercizio 6 della sezione 4 che mi ha mandato in crisi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif"> e sono arrivato a pensare(certamente avrò fatto qualche errore banale nei miei ragionamenti) che la tesi sia falsa:
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Rispondo io al posto di Evaristo.
<BR>L\'errore è il solito: invertire il senso di un\'implicazione. Il fatto che l\'angolo CAB sia uguale a COB è condizione sufficiente affinché la tesi valga, ma non è condizione necessaria. Quindi, anche se in un caso (invero, in tutti i casi tranne uno) questo non avviene, non implica che la tesi sia falsa.
<BR>
<BR>EDIT:
<BR>No enomis, quello dei 40° era un errore secondario: anche se lo correggi, ottieni sempre il tuo \"assurdo\". Per capire il tuo errore, leggi quello che ho scritto sopra.<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: MindFlyer il 31-01-2005 14:25 ]

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Messaggio da enomis_costa88 » 01 gen 1970, 01:33

capito e corretto l\'errore..così dovrebbe andare bene..
<BR><font color=white>
<BR>CAB=x, ABC=y=x-90,BCA= z=270-2x
<BR>O è il centro della circonferenza circoscritta ad ABC( circocentro del triangolo).COB = 2x in quanto angolo al centro. COB è isoscele( la bisettrice relativa all’angolo COB è anche asse). L’asse di CB divide l’angolo concavo COB in due angoli congruenti(sono supplementari agli angoli congruenti formati dalla bisettrice). Chiamiamo a e b gli angoli formati dal prolungamento di questo asse con AB. Sappiamo che essi sono supplementari e che b è complementare a y(formano un triangolo retto con il punto medio di CB). Quindi b+y=90 e b+x-90=90 e b+x=180 quindi x=a per transitività. Co è// a AB perché formano angoli corrispondenti congruenti con l’asse di CB. Sappiamo che l’altezza CH è // a MO è che OC// a MH quindi OCHM è un parallelogramma(più precisamente un rettangolo) e MH=OC.
<BR>
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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Ancora un pochino...
<BR><font color=white>
<BR>Sezione 4
<BR>Problema 2: Non ho ben capito cosa chiedi, non è chiaro senza disegno, comunque io trovo (dovrei...) il raggio piccolo e, con quello si dovrebbe fare qualsiasi cosa. Disegniamo il quadrato che ha come lati le congiungenti i centri della quattro circonferenze, avremo l\'uguaglianza
<BR>2r+2r*sqrt(2)=1, quindi
<BR>r=2/(1+sqrt(2))
<BR>
<BR>Problema 3:
<BR>La risposta è 1. Esiste una circonferenza che passa per A, B, H e K, quindi HK è corda di tale circonferenza, poichè l\'asse della corda passa per il centro e il centro biseca il diametro si ha la tesi.
<BR>
<BR>Problema 4:
<BR>Se non ricordo male questo teorema BAT=ACB perchè sottendono lo stesso arco (BAT è nella posizione \"limite\" cioè la tengente con l\'arco sotteso). Ora, perchè supplementari degli stessi angoli CXT=AYT, quindi, perchè supplementari dello stesso angolo AXT=AYX e la tesi è provata
<BR>
<BR>Problema 5:
<BR>BCM=MCA=MDA=MDB perchè sottendono corde congruenti. DAC=DMC=DBC perchè sottendono la stessa corda. DEC=CFD perchè supplementari delgli stessi angoli e di conseguenzo AEM=MFB perchè opposti al vertice di angoli congruenti. Chiamiamo O l\'intersezione di AC e BD. Ora possiamo affermare che i triangoli EOD e COF sono simili perchè hanno tre angoli congruenti e quindi che CO/DO=EO/FO. Quindi per il primo criterio di similitudine EOF ed DOC sono simili. E quindi hanno tutti gli angoli ordinatamente congruenti. Ora, per il teorema dell\'angolo esterno EOD=OXF+OFX, e poichè EOF+FED+EDO=180, sfrutando le congruenze degli angoli si ha EDF+ODC+DFE+DFC=180 e la tesi è provata poichè se un quadrilatero ha gli angoli opposti supplementari è ciclico.
<BR>
<BR></font color=white>
<BR>EDIT: Aggiunti 2<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Boll il 31-01-2005 21:56 ]
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-31 11:35, EvaristeG wrote:@sprmnt21 : premesso che quella relazione sta alla base della soluzione del 5.7 che ho in mente io, vorrei chiederti di chiarire a quali triangoli ti stai riferendo con le tue domande...sarò scemo io, ma non capisco se parli di triangoli equilateri, triangoli generici, triangoli formati da segmenti come nel problema. (btw, credo che nel caso più sfortunato possa essere una generica conica, il luogo di cui parli).
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Preciso:
<BR>
<BR>Si puo\' dire che due triangoli che abbiano la stessa somma dei quadrati dei lati abbiano la stessa area?
<BR>
<BR>Oppure che due triangoli di stessa area abbiano la stessa somma dei quadrati dei lati ?
<BR>
<BR>PS
<BR>
<BR>domanda aperta (per quanto ne so io): e\' vero che il luogo dei punti tali che (*) sia costante, nel caso di un generico triangolo ABC, e\' ancora un cerchio?
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>

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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

Ancora solida: pb. 6.3
<BR>
<BR><font color = white>Chiamo i sei vertici della base A, B, C, C\', B\', A\', in quest\'ordine. Sia V il vertice e O il centro della base. La faccia laterale del testo, a cui la sezione è parallela sia AA\'V.
<BR>
<BR>Osservo la figura dalla direzione dei segmenti (tutti paralleli) AA\', BOB\', CC\'. [i.e. proietto la figura su un piano ortogonale alla direzione detta] Quello che vedo è un triangolo ACV isoscele in V. La faccia laterale è vista di taglio, e lo stesso avviene con la sezione (che è // per ipotesi). La sezione è perciò il segmento uscente da O, parallelo ad AV, che taglia CV in un punto che chiamo S. Per il Th di Talete, S è il p.to medio di CV. Questo punto S visto di taglio, sulla piramide corrisponde ad un segmento parallelo allo spigolo CC\' e congiungente i p.ti medi degli spigoli CV e C\'V, che chiamerò S e S\'.
<BR>
<BR>Il quadrilatero cercato è cioè il trapezio BB\'S\'S. Dato che devo calcolare un rapporto tra aree di roba parallela e non verticale, posso applicare il rapporto delle aree delle proiezioni ortogonali sulla base.
<BR>
<BR>Vista in pianta, la faccia AA\'V = AA\'O è un tr. eql di lato 1; la sezione è il trapezio BB\'S\'S, con base maggiore 2 e minore 3/2. Ora, è tutta roba con angoli di 60°, e quindi si calcola facilmente.
<BR>
<BR>C\'è però un modo più furbo per calcolare il rapporto desiderato: basta vedere che AA\'O è formato da quattro triangoli eql di lato 1/2 (congiungo i punti medi...), mentre il trapezio è formato da sette di tali triangoli. Il rapporto voluto è perciò 7/4. </font>[]
<BR>
<BR>Ciao. M.[addsig]
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
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