esercizi di geometria da febbraio in su

In questo forum si discute delle Olimpiadi di Matematica

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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

Sezione 6, problema 1
<BR>1.Una statua di bronzo, piena e alta 60 cm, viene fusa e dal metallo ottenuto si ricavano copie in scala, ciascuna alta 10 cm. Quante copie posso ottenere?
<BR><font color=white>
<BR>Chiamata A la statua più alta e B la statua più bassa, sappiamo che h<sub>A</sub>/h<sub>B</sub>=(60/10)cm=6 quindi V<sub>A</sub>/V<sub>B</sub>=6^3=216 (spero di non essermi inventato questa regola). Quindi si possono ottenere 216 copie.
<BR><font color=black>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

Torniamo a geometria...
<BR><font color=white>
<BR>
<BR>[4.3 Final]
<BR>Teorema(credo): Dati quattro punti nel piano A,B,C,D, i quattro punti sono conclicli sse ACB=ADB(angoli).Da questa si ha direttamente la tesi, poichè sul diametro insistono angoli retti.
<BR>
<BR>Sezione 5
<BR>Problema 1
<BR>L\'ortocentro è esterno in alcuno tr ottusangoli.
<BR>Il baricentro è sempre interno.
<BR>Il circocentro è esterno nei tr ottusangoli.
<BR>L\'incentro è sempre interno.
<BR>
"Ma devo prendere una n-upla qualsiasi o una n-upla arbitraria?" (Lui)

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Boll
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Messaggio da Boll » 01 gen 1970, 01:33

<font color=white>
<BR>Sezione 5
<BR>
<BR>Problema 2
<BR>Poichè ACB+ADB=180, il quadrilatero ADBC è ciclico, picè nel triangolo equilatero tutti i punti notevoli coincidono sappiamo che il raggio della circonferenza (GC) è i 2/3 dell\'altezza (le mediane si secano a 2/3) e quindi uguale sqrt(3)/3.
<BR>
<BR>Problema 4
<BR>P è il baricentro.
<BR>Dimostrazione:
<BR>Facciamo la dimostrazione su uno solo dei tre lati, sugli altri 2 è analoga. Il lato preso in considerazione è AB. I triangolo APC e APB hanno la stessa base, ci rimane da provare che hanno la stessa altezza. Chiamiamo M il punto medio di BC H il piede di C su AP e K il piede di B su AP (o prolungamenti) avremo che gli angoli CMH e BMK sono opposti al vertice, poichè i triangolo ACM e AMB sono uno ottusangolo e uno acutangolo (nel caso in cui siano due tr rettangoli la tesi diventa banale). Quindi i triangolo BMH e BKM sono congruenti per il IV criterio di congruenza e la tesi è provata.
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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-31 15:40, Boll wrote:
<BR>Problema 4, Sezione 4: <font color=white>
<BR>Se non ricordo male questo teorema BAT=ACB perchè sottendono lo stesso arco (BAT è nella posizione \"limite\" cioè la tengente con l\'arco sotteso). Ora, perchè supplementari degli stessi angoli CXT=AYT, quindi, perchè supplementari dello stesso angolo AXT=AYX e la tesi è provata
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR><font color=black>
<BR>Dimostrazione alternativa <font color=white>
<BR>(scusate ho scambiato il posto del punto X con quello del punto Y, e viceversa)
<BR>Per il teorema della tangente e della secante abbiamo AT<sup>2</sup>=TB*TC cioé TB:AT=AT:TC ; poiché quindi hanno 2 lati in proporzione e l\'angolo ^ATB=^ATC in comune, i triangoli ATB e ATC sono simili e quindi ^BAT=^ACB ; dunque ^TXA=^TYC=180°-^ATX-^TAX ; poiché supplementari ad angoli uguali ^AXY=^AYX ; segue AX=AY c.v.d..
<BR><font color=black>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 14-02-2005 16:41 ]
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sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

7.2 Questo mi pare che manchi.
<BR>
<BR>Sia BCUV un terzo quadrato. (Nella mia figura ACPQ e BARS sono verso l\'esterno del traingolo mentre BCUV e\' vers l\'interno).
<BR>
<BR>E\' facile convincersi che BSV e\' larotazione atraverso B di 90° di ABC cosi come CUP e\' la rotazione attraverso C di 90° di ABC.
<BR>Pertanto i due traingoli si corrispondono in una simmetria centrale attraverso il centro di BCUV che e\' pure il punto fisso di PS al variare di A.
<BR>
<BR>

sprmnt21
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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

6.4 pure questo non l\'ho visto trattato.
<BR>
<BR>la butto un po\' la\'.
<BR>
<BR>Se Q e\' il secondo punto in cui BP taglia g(amma) ed N e\' la proiezione di B su AQ, si ha che AM*AP = AB^2 = AN*AQ cioe\' PQNM e\' ciclico. Da questo si ricava che N ed M stanno su una (opportuna) sfera che contiene g. Daltro canto dato che < AMB = < ANB = 90°, si ha che M ed N stanno su una sfera di diametro AB. Pertanto M ed N stanno sull\'intersezione di due sfere, cioe\' su un cerchio.
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 14-02-2005 16:25 ]

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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

6.3
<BR>
<BR>il rapporto richiesto e\' 5/4.

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Marco
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Messaggio da Marco » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-02-07 13:11, EvaristeG wrote:
<BR>@marco : nel 6.3, sei sicuro??
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Ehmm... ups! Quando uno cià ragione, cià ragione.
<BR>
<BR>Ma si potrà sbagliare trapezio all\'ultimo passaggio? C\'è chi la definirebbe una ca**ata...
<BR>
<BR>
[i:2epswnx1]già ambasciatore ufficiale di RM in Londra[/i:2epswnx1]
- - - - -
"Well, master, we're in a fix and no mistake."

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Messaggio da sprmnt21 » 01 gen 1970, 01:33

oo.5
<BR>
<BR>Sia Y\' il simmetrico di Y rispetto ad AB. Non difficile convincersi che AY\'Z e\' una rotazione scalata di ABC (angolo 45° fattore rq(2)). Pertanto ZY\'XC e\' un parallelogramma, in particolare Y\'X = ZC e Y\'X//ZC. Quindi i due traingoli AYZ e Y\'AX sono uguali e ruotati di 90°. In particolare lo sono i lati corrispondenti YZ e AX.
<BR>
<BR>---
<BR>una seconda soluzione deriva dal problema 7.2
<BR>
<BR>se M e\' il punto medio di AB, dal problema 7.2 deriva che < ZMX = 90° e ZM = XM. Da qui si deduce immediatamente che MAX si ootiene da MYZ mediante una rotazione di 90° attorno ad M.
<BR>
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: sprmnt21 il 15-02-2005 15:13 ]

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