Maledetta geometria!!!!!

In questo forum si discute delle Olimpiadi di Matematica

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dimpim
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Messaggio da dimpim » 01 gen 1970, 01:33

Se BCA è 60°, allora il triangolo ABC è equilatero. Dunque mediane, altezze e bisettrici coincidono. Se si congiungono i punti medi di ogni lato (e questo vale per un qualsiasi triangolo) si ottiene un triangolo simile a quello di partenza. Pertanto il triangolo HKM è equilatero.
<BR>Spero di non aver dato troppe cose per scontate (errore che commetto molto spesso <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> )!

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what
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Messaggio da what » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-13 21:46, frengo wrote:
<BR>un altro dimostrativo molto carino:
<BR>
<BR>Sia ABC un triangolo, e siano AH un\'altezza, BK un\'altra altezza, e CM una mediana. Dimostrare che se BCA=60° allora HKM è equilatero.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Le circorferenze circoscritte ai triangoli AHB e ABK hanno centro entrambe in M e hanno raggio pari a AM, perché i due triangoli sono rettangoli e con l\'ipotenusa in comune. Quindi A,K,H,B sono su un\'unica cfr di centro M, da cui MK=MH poiché raggi. L\'angolo CAH si ricava facilmente osservando che nel triangolo rettangolo CAH esso è complementare all\'angolo in C (=60°), quindi CAH (l\'angolo)=30°. KMH(ang) è l\'angolo al centro corrispondente di CAH(ang), perciò KMH(ang)=60°, da cui segue la tesi.
<BR>
<BR>P.S. come si indicano gli angoli in HTML??

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dimpim
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Messaggio da dimpim » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-14 17:07, dimpim wrote:
<BR>Se BCA è 60°, allora il triangolo ABC è equilatero.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Sì, ok... fate finta di non aver letto niente... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-13 21:46, frengo wrote:
<BR>un altro dimostrativo molto carino:
<BR>
<BR>Sia ABC un triangolo, e siano AH un\'altezza, BK un\'altra altezza, e CM una mediana. Dimostrare che se BCA=60° allora HKM è equilatero.
<BR>
<BR>[EDIT:scusate mi ricordavo male il testo.... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> ]
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: frengo il 14-01-2005 13:29 ]
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_mad.gif"> Stavo uscendo pazzo per risolverlo con il testo sbagliato... <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif">
<BR>Comunque è un problema dimostrativo di un\'edizione precedente della Gara di Febbraio...
<BR>
<BR>Bye,
<BR>Poliwhirl
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-13 21:46, frengo wrote:
<BR>
<BR>Sia ABC un triangolo, e siano AH un\'altezza, BK un\'altra altezza, e CM una mediana. Dimostrare che se BCA=60° allora HKM è equilatero.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>C\'è una variante molto carina :
<BR>
<BR>Sia ABC un triangolo, e siano AH un\'altezza, BK una bisettrice e CM una mediana. Dimostrare che se HKM è equilatero allora ABC è equilatero.
<BR>
<BR>Solo leggermente più difficile...buon lavoro!
<BR>
<BR>(algebra ---> algebri
<BR> geometria ---> geometri
<BR> analisi ---> analisi)
<BR>(algebra ---> algebristi
<BR> analisi ---> analisti
<BR> geometria ---> geometristi)
<BR>(algebra ---> algebrici
<BR> geometria ---> geometrici
<BR> analisi ----> analistici)
<BR>
<BR>e potrei anche continuare ....

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Poliwhirl
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-15 14:21, EvaristeG wrote:
<BR>
<BR>C\'è una variante molto carina :
<BR>
<BR>Sia ABC un triangolo, e siano AH un\'altezza, BK una bisettrice e CM una mediana. Dimostrare che se HKM è equilatero allora ABC è equilatero.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Essendo l\'angolo AHB = 90° e AM=MB, per ipotesi, segue che il triangolo AHB è inscrivibile in una semicirconferenza di raggio AM (diametro AB) e centro M. Poiché AM=MH=MK (essendo tutti raggi della semicirconferenza) allora K appartiene alla semicirconferenza e il triangolo ABK è quindi rettangolo; quindi l\'angolo BKC=90°. L\'angolo KMH=60° (per ipotesi, essendo il triangolo HKM equilatero) è l\'angolo al centro dell\'angolo KBC che è quindi uguale a 30°; poiché BK è bisettrice ABK=KBC=30°, segue che l\'angolo ABC=60°. Considerando il triangolo BKC, dato che BKC=90° e KBC=30° allora KCB=ACB=60°. Da ABC=60° e ACB=60° possiamo trovare CAB=60° e concludere che quindi il triangolo è ABC è equilatero c.v.d..
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
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info
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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Dato che vedo poliwhirl voglioso di allenamenti per le gare di Febbraio...Questo l\'ho trovato un pò di tempo fà: l\'ho ripescato per lui (ma anche per gli altri, ovviamente!)...
<BR>
<BR>Siano BE e Cf le alteezze di un triangolo acutangolo ABC con E su AC ed F su AB. Sia O il loro punto di intersezione. Prendi una linea KL che passi per O con K su AB ed L su AC. Prendi M ed N su BE e CF rispettivamente di modo che KM è perpendicolare a BE ed LN è perpendicolare a CF. Provare che FM è parallelo ad EN.
<BR>
<BR>Ma và se devo proporre esercizi per dei tipi con la \"febbre\" delle gare...
<BR>
<BR>Cmq dal poco che ho potuto capire io si utilizzano molto le circonferenze in questo tipo di gare (tipo il quesito di Evariste)...
<BR>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 15-01-2005 15:27 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 15-01-2005 15:30 ]

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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-15 14:47, Poliwhirl wrote:
<BR>
<BR>Poiché AM=MH=MK (essendo tutti raggi della semicirconferenza)
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Se sai che sono raggi sai anche che K appartiene già alla circonferenza e quindi questo passaggio è inutile ... del resto non sai che K appartiene a quella circonferenza, quindi non sai che il terzo è un raggio di essa.
<BR>Perchè è vera questa uguaglianza?

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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-15 18:32, EvaristeG wrote:
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-15 14:47, Poliwhirl wrote:
<BR>
<BR>Poiché AM=MH=MK (essendo tutti raggi della semicirconferenza)
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Se sai che sono raggi sai anche che K appartiene già alla circonferenza e quindi questo passaggio è inutile ... del resto non sai che K appartiene a quella circonferenza, quindi non sai che il terzo è un raggio di essa.
<BR>Perchè è vera questa uguaglianza?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Hai ragione, mi sono espresso molto male...MH è un raggio della semicirconferenza, e poiché MH=MK (perché il triangolo MKH è equilatero) e inoltre M è il centro della semicirconferenza allora anche MK è un raggio della semicirconferenza e quindi K gli appartiene.
<BR>Va meglio?
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
<BR><font color = white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 15-01-2005 19:27 ]
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Messaggio da Sisifo » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>info wrote
<BR>Siano BE e Cf le alteezze di un triangolo acutangolo ABC con E su AC ed F su AB. Sia O il loro punto di intersezione. Prendi una linea KL che passi per O con K su AB ed L su AC. Prendi M ed N su BE e CF rispettivamente di modo che KM è perpendicolare a BE ed LN è perpendicolare a CF. Provare che FM è parallelo ad EN.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Allora...
<BR>LN // FK perchè entrambi paralleli CF, quindi ^ELO=^OKM perchè alterni interni. Ora poichè anche ^MOK=^LOE perchè opposti al vertice, possiamo dedurre dai criteri di similitudine, che il triangolo LEO è simile al triangolo OMK e scrivere la proporzione:
<BR>MK:LE=OK:OL
<BR>
<BR>Analogamente ragionando sui triangoli LNO e OFK si può dedurre la proporzione:
<BR>FK:LN=OK:OL
<BR>
<BR>To be continued...
<BR>
<BR>EDIT:grazie Poliwhirl...
<BR>
<BR>\"Non è certo che tutto sia incerto\"(B. Pascal)
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Sisifo il 16-01-2005 14:08 ]
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Messaggio da Sisifo » 01 gen 1970, 01:33

Quindi possiamo dedurre che
<BR>MK:LE=FK:LN
<BR>Inoltre, poichè MK//LE e LN//FK, anche^FKM=^NLE, da cui per i criteri di similtudine possiamo dedurre che anche i triangoli LEN e MFK sono simili e che quindi ^LEN=^FMK.
<BR>Da questo e dal fatto che LE//MK, si ha infine che EN//FM.[addsig]
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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

La tua sol mi sembra buona Sisifo: un buon ripasso dei teoremi di similitudine che nn fà mai male...
<BR>Ci sarebbe un modo che ritengo concettualmente diverso (nel senso che io ho in testa questi argomenti in modo staccato, poi si potranno ricollegare come tutto)... come ho scritto sopra, in questi es circonferenze a gogò... Se volete esercitarvi...
<BR>

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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-15 19:26, Sisifo wrote:
<BR>
<BR>Analogamente ragionando sui triangoli LNM e OFK si può dedurre la proporzione:
<BR>FK:LN=OK:OL
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Credo che volevi scrivere il triangolo LNO e non LNM...
<BR>Capitano anche a me spesso questi errori quando posto le soluzioni di dimostrazioni geometriche...
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
<BR><font color = white><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 15-01-2005 22:30 ]
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-15 15:26, info wrote:
<BR>
<BR>Siano BE e Cf le alteezze di un triangolo acutangolo ABC con E su AC ed F su AB. Sia O il loro punto di intersezione. Prendi una linea KL che passi per O con K su AB ed L su AC. Prendi M ed N su BE e CF rispettivamente di modo che KM è perpendicolare a BE ed LN è perpendicolare a CF. Provare che FM è parallelo ad EN.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Poiché ^LNO=90° , allora il triangolo LNO è inscrivibile in una semicirconferenza di diametro LO; analogamente poichè ^LEO=90° , allora il triangolo LEO è inscrivibile in una semicirconferenza di diametro LO; segue che E,L,O,N appartengono tutti alla stessa circonferenza C<sub>1</sub> di diametro LO. Con un analogo procedimento troviamo che F, O, K, M appartengono tutti alla stessa circonferenza C<sub>2</sub> di diametro OK. Consideriamo la circonferenza C<sub>1</sub>: ^LEN=^NOL perché insistono entrambi sull\'arco LN. ^NOL=^FOK perché opposti al vertice. Consideriamo ora la circonferenza C<sub>2</sub>: ^FOK=^FMK perché insistono entrambi sull\'arco FK. Da questa catena di relazioni trovate facilmente segue ^LEN=^FMK. Poiché complementari a angoli uguali ^FMO e ^OEN sono uguali e, poiché sono anche alterni interni, allora FM//EN c.v.d..
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#<font color=white>
<BR>
<BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 16-01-2005 00:39 ]<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Poliwhirl il 16-01-2005 00:39 ]
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Messaggio da Poliwhirl » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2005-01-12 08:54, marco wrote:
<BR>
<BR>(GPL 1989) 13. I sei p.ti che dividono ciascun lato del 3angolo ABC in 3 parti = stanno tutti su uno stesso cerchio. Provare che ABC è equilatero.
<BR>
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>Chiamiamo D, E i punti che dividono il lato AB in 3 parti uguali e chiamiamo F, G i punti che dividono AC in tre parti uguali. Trovandosi sulla stessa circonferenza possiamo applicare il teorema delle secanti (considerando AE e AG come secanti); per cui: AF:AE=AD:AG , cioè AF*AG=AE*AD. Poiché AG=2AF e AE=2AD allora AF*2AF=AD*2AD da cui AF=AD. Poiché AC=3AF e AB=3AD, e poiché AF=AD , allora AC=AB. Analogamente si dimostra che BC=AC=AB; il triangolo ABC è quindi equilatero c.v.d..
<BR>
<BR>Bye,
<BR>#Poliwhirl#
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