APPUNTO SUL PROBLEMA 22

In questo forum si discute delle Olimpiadi di Matematica

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pi_greco_quadro
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Messaggio da pi_greco_quadro » 01 gen 1970, 01:33

A parte che sono molto contento di come mi è andata la gara, volevo fare un appunto su di un problema che se si tentava di risolvere svolgendo completamente l\'equazione portava via un sacco di tempo... neanche tanto per la verità però i metodi veloci sono sempre bene accetti
<BR>
<BR>se x = ... eccetera, l\'equazione poteva essere vista anche come x = 1 + 1 / x, da cui x^2 - x - 1 = 0, che è l\'equazione per trovare il numero aureo phi. Questo numero ci perseguita..... Peace
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MindFlyer

Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

...E infatti la frazione continua che esprime il rapporto aureo è 1+1/(1+1/(...)). Non capisco però come hai fatto a risalire dall\'equazione data dal testo a x=1+1/x. Semmai, vale l\'implicazione opposta. Vero?

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pi_greco_quadro
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Messaggio da pi_greco_quadro » 01 gen 1970, 01:33

Sai l\'importante è capirsi al volo, nn siamo mica qua per discutere d\'italiano, anche perché nn è che sia proprio una cima.... cmq credo tu mi abbia capito.. E\' sempre un piacere parlare con chi di matematica se ne intende....
<BR>peace
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Simo_the_wolf
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Messaggio da Simo_the_wolf » 01 gen 1970, 01:33

Vorrei far notare come il numero phi ci perseguitava anke nell\'esercizio precedente, in quanto erano presi in ballo i numeri di fibonacci, e quindi la phi (ricordiamo che l\'ennesimo numero di fibonacci può essere espresso come [phi<sup>n</sup>+(-1/phi)<sup>n</sup>]/sqrt(5) ).
<BR>
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Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-21 14:53, pi_greco_quadro wrote:
<BR>Sai l\'importante è capirsi al volo, nn siamo mica qua per discutere d\'italiano, anche perché nn è che sia proprio una cima.... cmq credo tu mi abbia capito.. E\' sempre un piacere parlare con chi di matematica se ne intende....
<BR>peace
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>No che non ho capito, santi numeri!
<BR>Tutto quello che so è che tu hai proposto una soluzione a tua detta migliore per il problema 22. Ma io non l\'ho capita, ed anzi mi sembra errata. Quindi, per favore, puoi spiegarla meglio?
<BR>Peace.

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pi_greco_quadro
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Messaggio da pi_greco_quadro » 01 gen 1970, 01:33

chiaramente sul testo l\'equazione non era infinita, però questa è una caratteristica dell\'equazione di phi. Se x è infatti dato da una divisione che si protrae all\'infinito 1 + (1 / 1 + ( 1 / 1 + (...))), a qualsiasi livello dell\'equazione noi possiamo sostituire x. E così nell\'esercizio 22... Cmq la mia era solo una precisazione, si potevano benissimo svolgere i calcoli
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Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-21 21:15, pi_greco_quadro wrote:
<BR>Se x è infatti dato da una divisione che si protrae all\'infinito 1 + (1 / 1 + ( 1 / 1 + (...))), a qualsiasi livello dell\'equazione noi possiamo sostituire x.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>E\' proprio questo il tuo errore logico.
<BR>Vale infatti banalmente l\'implicazione opposta:
<BR><!-- BBCode Start --><I>se</I><!-- BBCode End --> x=1+1/x, <!-- BBCode Start --><I>allora</I><!-- BBCode End --> x=1+1/(1+1/(...)).
<BR>Mentre non è immediato che
<BR><!-- BBCode Start --><I>se</I><!-- BBCode End --> x=1+1/(1+1/(...)), <!-- BBCode Start --><I>allora</I><!-- BBCode End --> x=1+1/x,
<BR>che, se ho capito bene, è quello che stai cercando di dire.
<BR>Pensaci un attimo...
<BR>

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Messaggio da pi_greco_quadro » 01 gen 1970, 01:33

allora quello che tu sostieni è corretto, tuttavia proprio per la sua natura infinita, l\'equazione di phi possiamo vederla come x = 1 + 1/(1+1/.....)
<BR>Ora considera tutto ciò che sta al denominatore di 1. Se anche questa quantità è infinita, è evidente che, per l\'quazione appena scritta, possiamo dire che x = 1 + 1 / x. Forse è sbagliato estendere questo ragionamento al problema 22, in quanto in quel caso abbiamo un\'equazione finita, tuttavia la mia intenzione era solamente quella di prendere spunto per fornire un piccolo appunto.... io ci ho pensato ed hai ragione, ma ora pensaci un po anche tu e dimmi se ho ragione anch\'io, però entra nell\'ottica dell\'equazione infinita, altrimenti capisco come tu nn possa seguire il mio ragionamento... peace
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Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

Ok, il discorso si può sistemare, ma ad un prezzo un po\' troppo alto...
<BR>Dovresti mostrare le seguenti implicazioni:
<BR>x=1+1/x --> x=(probl. 22), che è banale.
<BR>x=(probl. 22) --> x=1+1/(1+1/(...)), che si dimostra facilmente.
<BR>x=1+1/(1+1/(...)) --> x=1+1/x, che, opportunamente giustificata, regge.
<BR>Da ciò, hai che x è soluzione del problema 22 se e solo se è soluzione della frazione continua, ovvero x=phi.
<BR>Ma siamo sicuri che tutto questo sia meglio di un veloce conticino?

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pi_greco_quadro
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Messaggio da pi_greco_quadro » 01 gen 1970, 01:33

Non è meglio di un veloce conticino se e solo se lasciamo campo aperto a tutti questi dubbi. Credo che invece questi quesiti siano fatti apposta per rispondere in maniera veloce, quindi qualsiasi collegamento mentale ceh possa aiutare è bene accetto... peace fratello
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Messaggio da MindFlyer » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-11-23 11:42, pi_greco_quadro wrote:
<BR>Credo che invece questi quesiti siano fatti apposta per rispondere in maniera veloce, quindi qualsiasi collegamento mentale ceh possa aiutare è bene accetto...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>Santi numeri, i giochi di Archimede non sono fatti <!-- BBCode Start --><I>apposta</I><!-- BBCode End --> per rispondere velocemente. Sono a risposta multipla semplicemente per rendere meccanica la loro correzione, ed evitare così giudizi ed interpretazioni troppo \"liberi\" da parte di chi li corregge.
<BR>Se fai attenzione, vedi che in molti casi le opzioni errate sono studiate apposta per ingannare coloro che si lasciano guidare da \"collegamenti mentali\" selvaggi e non giustificati. La difficoltà nel progettare i problemi sta anche nel prevedere gli errori comuni e mettere le risposte errate corrispondenti.
<BR>Quindi, molto meglio rimanere coi piedi per terra con cose di cui si è sicuri, piuttosto che manipolare strumenti troppo complicati sperando di arrivare prima. Sai, tante volte i problemi (specie a livelli alti) sono anche fatti in modo che chi cerca di usare strumenti o teoeremi complessi per risolverli, fallisca o venga mandato fuori strada. Occhio!

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