IMO 2004

In questo forum si discute delle Olimpiadi di Matematica

Moderatore: tutor

tmart
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

Come tutti sapete le prove sono terminate ieri...
<BR>Quindi innanzitutto ecco i testi dei problemi:
<BR>
<BR>Primo Giorno:
<BR>
<BR>1. Sia ABC un triangolo acutangolo con AB!=AC. Il cerchio di diametro BC incontra i lati AB e AC in M e N rispettivamente. Chiamiamo O il punto medio del lato BC. Le bisettrici degli angoli BAC e MON si incontrano in R. Dimostrare che le circonferenze circoscritte dei triangoli BMR e CNR hanno un punto in comune che sta sul lato BC.
<BR>
<BR>2. Trovare tutti i polinomi f a coefficienti reali tali che per tutti i reali a, b, c tali che ab+bc+ca=0 siano verificate le seguenti relazioni
<BR> f(a-b) + f(b-c) + f(c-a) = 2f(a+b+c)
<BR>
<BR>3. Definiamo un uncino la figura composta di sei quadrati di lato unitario ottenuta togliendo a un quadrato 3*3 il quadrato centrale e i due in basso a destra e tutte le figure ottenute applicando rotazioni e riflessioni alla figura.
<BR>
<BR>Determinare tutti i rettangoli m*n che possono essere coperti con gli uncini senza buchi e senza sovrapposizioni tali che
<BR> - il rettangolo è coperto senza buchi e sovrapposizioni (meglio ripetersi...)
<BR> - nessuna parte dell\'uncino copre l\'area fuori dal triangolo
<BR>
<BR>Secondo Giorno:
<BR>
<BR>4. Sia n>=3 un intero. Siano t1, t2, ..., tn numeri reali positivi tali che
<BR> n^2 + 1 > (t1 + t2 + ... + tn)(1/t1 + 1/t2 + ... + 1/tn)
<BR>
<BR>Dimostrare che ti, tj, tk sono i lati di un triangolo per tutti gli i, j, k con n>=k>j>i>=1
<BR>
<BR>5. In un quadrilatero convesso ABCD la diagonale BD non è bisettrice né di ABC bé di CDA. Un punto P sta in ABCD ed è tale che
<BR> BDA>=PDC e DBA>=PBC
<BR>Provare che ABCD è un quadrilatero ciclico se e solo se AP=CP.
<BR>
<BR>6. Un intero positivo è chiamato \"alternante\" se ogni due cifre consecutive nella sua rappresentazione decimale sono di differente parità.
<BR>
<BR>Trovare tutti gli interi n tali che n ha un multiplo \"alternante\"
<BR>
<BR>
<BR>Attendo notizie dalla squadra italiana!
<BR>
<BR>Selihuth Muessel Keil Mihn
<BR>Edit: così is better? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: tmart il 15-07-2004 13:23 ]
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EvaristeG
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Messaggio da EvaristeG » 01 gen 1970, 01:33

Provate a fare il 5...è veramente figo!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

Dexter_84
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Messaggio da Dexter_84 » 01 gen 1970, 01:33

Sembrano un pò + semplici degli anni scorsi!!!
<BR>forse la nostra squadra riuscirà a beccharsi qualche medaglia......

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

nel 6 secondo me c\'è un errore nel testo,magari chiede: trovare tutti gli n che hanno un multiplo NON alternante, altrimenti è banale.
<BR>tutti i numeri hanno multipli alternanti.

matthewtrager
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Messaggio da matthewtrager » 01 gen 1970, 01:33

i multipli di 20 non sono mai alternanti

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

100 è alternante

matthewtrager
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Messaggio da matthewtrager » 01 gen 1970, 01:33

come 100 e\' alternante?! 0 e 0 non ti sembra che abbiano la stessa parita\'?

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

1 e 0 hanno differente parità

matthewtrager
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Messaggio da matthewtrager » 01 gen 1970, 01:33

ho capito il malinteso: il problema vorrebbe dire che tutte le cifre consecutive hanno parita\' diversa (ma lo dice molto male). ecco l\'originale in inglese (da un altro sito):
<BR>
<BR>We call a positive integer alternating if every two consecutive digits in its decimal representation are of different parity.
<BR>
<BR>Find all positive integers n such that n has a multiple which is alternating.
<BR>
<BR>

Biagio
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Messaggio da Biagio » 01 gen 1970, 01:33

ecco, mi sembra ben diversa la cosa, adesso <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>tnx
<BR>

tmart
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Messaggio da tmart » 01 gen 1970, 01:33

Ebbene sì... eccoci qui:
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><I>1. China 220
<BR> 2. USA 212
<BR> 3. Russia 205 </I><!-- BBCode End --> Ma guarda un po\'...China, USA e Russia <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR> 4. Vietnam 196
<BR> 5. Bulgaria 194
<BR> 6. Taiwan 190
<BR> 7. Hungary 187
<BR> 8. Japan 182
<BR> 9. Iran 178
<BR>10. Romania 176
<BR>11. Ukraine 174
<BR>12. Korea 166
<BR>13. Belarus 154
<BR>14. India 151
<BR>15. Israel 147
<BR>16. Poland 142
<BR>17. Moldova 140
<BR>18. Singapore 139
<BR>19. Mongolia 135
<BR>20. UK 134
<BR>21= Brazil 132
<BR>21= Canada 132
<BR>21= Kazakhstan 132
<BR>21= Serbia and Montenegro 132
<BR>25. Germany 130
<BR>26. Greece 126
<BR>27. Australia 125
<BR>28. Georgia 123
<BR>29. Colombia 122
<BR>30. Hong Kong 120
<BR>31= Slovakia 119
<BR>31= Turkey 119
<BR>33. South Africa 110
<BR>34. Czech Rep 109
<BR>35. Thailand 99
<BR>36. Armenia 98
<BR>37. Mexico 96
<BR>38. France 94
<BR>39. Argentina 92
<BR>40. Croatia 89
<BR>41. Morocco 88
<BR>42= Belgium 86
<BR>42= Macau 86
<BR>44. Estonia 85
<BR>45. Uzbekistan 79
<BR>46. Sweden 75
<BR>47. Azerbaijan 72
<BR>48. FYROM 71
<BR><!-- BBCode Start --><B>49= Italy 69 </B><!-- BBCode End -->
<BR>49= Slovenia 69
<BR>51. Lithuania 65
<BR>52= Kyrgystan 63
<BR>52= Latvia 63
<BR>54. Indonesia 61
<BR>55= Albania 57
<BR>55= Spain 57
<BR>55= Switzerland 57
<BR>58. New Zealand 56
<BR>59= Austria 55
<BR>59= Norway 55
<BR>61. Netherlands 53
<BR>62. Turkmenistan 52
<BR>63= Cyprus 49
<BR>63= Finland 49
<BR>63= Peru 49
<BR>66. Ireland 48
<BR>67. Uruguay 47
<BR>68. Denmark 46
<BR>69. Puerto Rico 43
<BR>70. Bosnia and Hercegovina 40
<BR>71. Luxembourg 36
<BR>72. Iceland 35
<BR>73. Malaysia 34
<BR>74. Sri Lanka 33
<BR>75. Tunisia 31
<BR>76. Trinidad and Tobago 29
<BR>77. Portugal 26
<BR>78. Cuba 17
<BR>79. Phillipines 16
<BR>80. Venezuela 15
<BR>81. Ecuador 14
<BR>82= Mozambique 13
<BR>82= Paraguay 13
<BR>84. Kuwait 5
<BR>85. Saudi Arabia 4
<BR>
<BR>Sapete il Lussemburgo ha fatto 36 punti ma con 2 partecipanti... (almeno è quello che si dice)[addsig]
[tex]\Im^\heartsuit_\TeX[/tex]

gippo
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Località: Tours (Francia)

Messaggio da gippo » 01 gen 1970, 01:33

Macau may be among the world\'s smallest place, but that fact has never stopped the 448,500 residents from \"thinking big\".
E d'un tratto capii che il pensare è per gli stupidi, mentre i cervelluti si affidano all'ispirazione!
<br><br><center>
<img src = http://www.sssup.it/~gippo/pictures/alex.jpg></center>
<script LANGUAGE="JavaScript">alert("Errore Fatale");</script>

fph
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Messaggio da fph » 01 gen 1970, 01:33

Quanto alle medaglie, avete qualche informazione? 69/6=11+ mi fa sperare bene...
<BR>
<BR>ciao,
<BR>--federico<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: fph il 16-07-2004 21:42 ]
--federico
[tex]\frac1{\sqrt2}\bigl(\left|\text{loves me}\right\rangle+\left|\text{loves me not}\right\rangle\bigr)[/tex]

Ospite

Messaggio da Ospite » 01 gen 1970, 01:33

bello --><!-- BBCode Start --><A HREF="http://www.mathlinks.ro/viewforum.php?f=127" TARGET="_blank">mathlink</A><!-- BBCode End --><-- , dateci un\'occhiata..
<BR>ciao
<BR>-f-<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: franc il 18-07-2004 00:04 ]

po
Messaggi: 11
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Messaggio da po » 01 gen 1970, 01:33

Bronzo (>=16): Luca Barbieri (20), Carlo Maria Rosati (19)
<BR>Menzione d\'onore: Marco Golla

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