III GARA UNIMI

In questo forum si discute delle Olimpiadi di Matematica

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Duilio
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Messaggio da Duilio » 01 gen 1970, 01:33

Effettivamente è un po\' tardi.
<BR>In ogni caso per chi era alla III gara il 25 marzo - o ha visto i giochi proposti - può illustrare le soluzioni proposte.
<BR>Dannatamente ho cannato quello di HANNAH.
<BR>
<BR>Un Saluto

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gip
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Messaggio da gip » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Duilio, io c\'ero (un amico di Cecchi) <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> .
<BR>Premetto che i testi delle prove sono qua: <a href="http://users.mat.unimi.it/users/giochi/0304/0304III.pdf" target="_blank" target="_new">http://users.mat.unimi.it/users/giochi/ ... III.pdf</a>
<BR>
<BR>Allora...
<BR>
<BR>1° : poichè sono disponibili 21 botti e 21 metà di botte (di vino), ognuno otterrà 7 botti e sette metà di botti di vino. Per assegnare il vino basta dare a due dei figli tre botti intere più metà botte, e al terzo figlio la botte intera rimanente più le cinque metà restanti; basta poi assegnare tre botti vuote a ciascuno dei primi due figli e l\'ultima botte vuota al terzo, in modo da pareggiare il computo delle botti.
<BR>
<BR>2° Notiamo che è impossibile che entrambi i primi ottenuti siano dispari, infatti qualora x sia pari, si ha che (x-7)^2 +1 è pari; qualora x sia dispari, abbiamo (x-3)^2 -2 ancora pari. E\' necessario quindi che uno dei due primi sia uguale a 2; risolvendo le opportune uguaglianze si ottengono le soluzioni 1, 5, 6 e 8. (Ho sentito che qualcuno ha considerato anche -2 primo... io ho inteso i primi come quelli che si studiano in Aritmetica, poi si tratta di interpretazioni <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> )
<BR>
<BR>3° Notiamo che x congruo a 1 oppure 2 oppure 4 (mod 7) implica x^3 congruo a 1 (mod 7) e che x congruo a 3 oppure 5 oppure 6 (mod 7) implica x^3 congruo a -1 (mod 7). Dunque il cubo di un intero non divisibile per 7 è per forza congruo ad 1 o a -1 (mod 7), quindi x^3 + y^3 = 0 (mod 7) oppure = 2 (mod 7); ma affinchè x^3 + y^3 + z^3 = 0 (mod 7) servirebbe che z^3 = 0 (mod 7) oppure z^3=2 (mod 7), ma questo è impossibile.
<BR>
<BR>4° (Hannah.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> ) L\'ho sbagliato, perchè ho fatto in modo da scrivere HANNNAH con tre N <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> ... ciò che segue è quella che credo essere la dimostrazione corretta (spero risulti chiara...)
<BR>Consideriamo le possibilità partendo da 5 H contigue della riga più in alto.. poi, per simmetria, basterà moltiplicare il risultato per 4. Notiamo che, di queste 5 H, ve ne sono 2 centrali, 2 presso l\'angolo, e 1 d\'angolo.
<BR>_Possibili percorsi dall\'H di angolo: 1*1*3*(5*3+2) . Ogni numero è associato alle possibili direzioni in ogni momento, il 2 finale è motivato dal fatto che la A di angolo ha 5 possibilità invece che 3, come per le altre. Poichè questo numero è uguale a quello dei possibili percorsi a partire da una N, e tornerà dopo, lo chiamiamo Z.
<BR>_Possibili percorsi dall\'H presso l\'angolo: (1*1*Z) + (1*2*Z) =3*Z . La prima parentesi conta i percorsi se si va nella A di angolo, la seconda se si va nella A sul lato.
<BR>_Possibili percorsi dalle H centrali: (1*1*Z) + (2*2*Z) = 5*Z. Al solito, la prima parentesi considera la A all\'angolo, la seconda le A sul lato.
<BR>
<BR>Dunque il totale è 4*(Z+3*Z+5*Z+5*Z+3*Z)= 68*Z = 68*51 = 3468.
<BR>
<BR>5° Grazie alla geometria elementare possiamo affermare che ACC\' e ABB\' sono simili, così come lo sono AA\'B e CC\'B.
<BR>Dunque si ha che BB\':CC\'=AB:AC\' e che AA\':CC\'=AB:BC\', ossia (a sistema):
<BR>
<BR>|BB\'*AC\'=CC\'*AB
<BR>|AA\'*BC\'=CC\'*AB
<BR>|AC\'=AB-BC\'
<BR>
<BR>quindi, risolvendo un po\', si ha:
<BR>
<BR>AA\'*BB\'-AA\'*CC\'=BB\'*CC\', da cui 1/CC\' = (AA\'+BB\')/(AA\'*BB\') = 1/AA\' + 1/BB\' . cvd
<BR>
<BR>6° L\'ho cannato sicuramente, e la mia soluzione è abbastanza confusa, quindi evito di pubblicarla.. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>7° Poichè BED e GCF sono simili, si ha che gli angoli BEA e CFA sono uguali, dunque i due triangoli CFA e BEA sono anch\'essi simili, avendo l\'angolo BAC in comune. Da queste similitudini si ricava che:
<BR>DE:BE=GF:CF e che AE:BE=AF:CF , quindi ricavando CF dalla prima e sostituendo nella seconda, si ha AE*GF*BE=BE*AF*DE , quindi AE:AF=DE:GF , ma da questo si ricava che i triangoli AEF e AGD sono simili, quindi, per Talete, GD e EF sono paralleli, quindi GDEF è un trapezio.
<BR>
<BR>Bye bye
<BR>
<BR>Marino

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Wilddiamond
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Messaggio da Wilddiamond » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-04-08 23:40, gip wrote:
<BR>
<BR>Ho sentito che qualcuno ha considerato anche -2 primo...
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif">
<BR>
<BR>
<BR>ho fatto in modo da scrivere HANNNAH con tre N </BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif">
<BR>
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
-- Io sono fiero del mio sognare, di questo eterno mio incespicare --

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

il 6 non dovrebbe essere impossibile, basta considerare che il centro è interno a un triangolo sse questo è acutangolo, costruire una corrispondenza tra triangoli acutangoli e ottusangoli, togliere i rettangoli (poichè n è dispari) e aggiungere i casi degeneri
<BR>
<BR>tutto questo in linea teorica, se qualche volenteroso vuole esplicitare il tutto..
<BR><IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

dunque:
<BR>i triangoli possibili scegliendo 3 vertici sono comb(n,3)
<BR>ora, scegliamo 1 vertice (n possibilità) e tracciamo il diametro D con un estremo in questo vertice, scegliamo un altro vertice distinto dal primo (n-1 possibilità) e un altro, che stia nella semicirconferenza non contenente il secondo vertice e avente come diametro D, (n-1)/2 possibilità.
<BR>i triangoli ottenuti in questo modo sono tutti e soli quelli che risolvono il problema.
<BR>dunque, senza contare i casi degeneri, P(n)=n(n-1)<sup>2</sup>/2*3! * 1/comb(n,3) (il 3! a denominatore è per eliminare le permutazioni dei vertici)
<BR>=n(n-1)<sup>2</sup>/2*3! * 3!/n(n-1)(n-2)= (n-1)/2(n-2)
<BR>
<BR>si vede facilmente che i casi degeneri non generano altre configurazioni accettabili: scegliendo 3 volte lo stesso vertice, è ovvio che il \"triangolo\" non conterrà il centro, e anche scegliendone soltanto due coincidenti sarà lo stesso (poichè n è dispari, e disegnando un diametro con un estremo in un vertice, l\'altro estremo cadrà tra i due verici opposti). in questo caso però le configurazioni possibili sono n<sup>3</sup>
<BR>dunque P(n)=n(n-1)<sup>2</sup>/2*3! * 1/n<sup>3</sup>=(n-1)<sup>2</sup>/12*n<sup>2</sup>
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

okay, quello che ho scritto nel mio post precedente è <B>scazzato!</B>
<BR>infatti se prendiamo tre vertici consecutivi e scegliamo per primo quello in mezzo il triangolo non è acutangolo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>forse si può fare così:
<BR>prendiamo un triangolo acutangolo, e tracciamo i diametri che partono dai suoi vertici: ognuno di essi incontrerà la circonferenza in un punto compreso tra due vertici del poligono. unendo ciascuno di questi 6 vertici con i due vertici del triangolo a lui più vicino, otteniamo sei triangoli ottusangoli.
<BR>
<BR>se facciamo la costruzione partendo da un triangolo ottusangolo (tracciando il diametro che parte dal vertice del triangolo ottuso), notiamo che esso viene associato a due triangoli acutangoli
<BR>
<BR>quindi, se x è il numero di triangoli acutangoli, il numero degli ottusangoli è 6x/2=3x e dunque
<BR>x+3x=(n,3) => x=(n,3)/4
<BR>visto che i triangoli acutangoli sono tutti e soli quelli che contengono il centro della circonf, P=x/(n,3)=1/4
<BR>
<BR><B>POSSIBILE??</B>
<BR>
<BR>a chi ha fatto la gara: a voi cos\'è venuto??
<BR>
<BR>se contiamo anche i casi degeneri P=x/n<sup>3</sup>=(n-1)(n-2)/24n<sup>2</sup> poichè nessuno di essi genera configurazioni accettabili<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 10-04-2004 13:45 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]

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Messaggio da gip » 01 gen 1970, 01:33

INCREDIBBILE!!!!!!!!!
<BR>Dopo quasi *due mesi* sono finalmente usciti i risultati della gara!!! Complimenti ai vincitori e soprattutto a Simone!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

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