legnacciiiii risolvete!!!! :D

febiz2004 · Messaggio da **febiz2004** » 01 gen 1970, 01:33

1) Un polinomio con coefficienti interi quando viene diviso per (x^2-12x+11) da come resto 990x-889. dimostrare che il polinomio non ha radici intere.
 
 2)Siano x,y,z reali non negativi tali che x+y+z=1. Determinare il massimo valore che può assumere l\'espressione xy^2+yz^2+zx^2.
 
 3)Determinare tutte le funzioni f,g,h:R--->R tali che
 f(x+y^3)+g(x^3+y)=h(xy) per tutti gli x,y reali
 
 4)dimostrare che vale la disuguaglianza:
 a^3/x+b^3/y+c^3/z>=(a+b+c)^3/3(x+y+z)
 con a,b,c,x,y,z reali positivi
 
 5)Esiste un naturale che è una potenza di 2 dal quale otteniamo un\' altra potenza di 2 riarrangiando le sue cifre, nella consueta forma decimale?
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: febiz2004 il 14-03-2004 21:02 ]

andrea84 · Messaggio da **andrea84** » 01 gen 1970, 01:33

Provo il primo:
 
 Allora sia P(x) il nostro polinomio abbiamo che:
 
 P(x)=(x^2-12x+11)S(x)+(990x-889) con S(x) polinomio a coefficienti interi,
 supponiamo ora per assurdo che esista y intero tale P(y)=0 avremo che:
 (y^2-12y+11)S(y)=889-990y da cui S(y)=(889-990y)/(y^2-12y+11) ora S(y) è un intero e quindi deve esserlo anche il secondo membro dell\'uguaglianza ma questo è impossibile perchè MCD(889-990y,y^2-12y+11)=1 e y^2-12y+11!=1 per ogni intero.
 Da cui la tesi
 
 Ciao

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-14 20:17, febiz2004 wrote:
 5)Esiste un naturale che è una potenza di 2 dal quale otteniamo un\' altra potenza di 2 riarrangiando le sue cifre, nella consueta forma decimale?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 mi sembra figo...
 allora:
 riarrangiando le cifre di un numero non cambiamo la somma delle sue cifre e dunque la sua congruenza mod. 9
 ora, perchè un riarrangiamento sia sensato, deve modificare il numero (in sostanza scambiare un 2 con un 2 non è un riarrangiamento sensato)
 ==>il numero che si ottiene è diverso da quello iniziale.
 
 sia Ni il numero iniziale e sia Nr il numero riarrangiato
 
 ora, poiché i numeri sono diversi, e Nr da lo stesso resto di Ni se diviso per 9,
 ==> MAX(Ni, Nr) / min(Ni, Nr) = 26k con k naturale positivo, in quanto l\'ordine moltiplicativo di 2 rispetto a 9 è proprio phi(9), cioè 6.
 
 ma 26k > 10 per ogni k naturale positivo
 ==> Ni e Nr non possono avere lo stesso numero di cifre, ma ciò è assurdo.
 
 CONCLUSIONE: non esiste un naturale che è una potenza di 2 dal quale otteniamo un\' altra potenza di 2 riarrangiando le sue cifre, nella consueta forma decimale.

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-14 23:03, Biagio wrote:
 ...riarrangiando le cifre di un numero non cambiamo la somma delle sue cifre e dunque la sua congruenza mod 9.
 Ora, perché un riarrangiamento sia sensato, deve modificare il numero (in sostanza scambiare un 2 con un 2 non è un riarrangiamento sensato)
 ==> il numero che si ottiene è diverso da quello iniziale.
 
 sia Ni il numero iniziale e sia Nr il numero riarrangiato
 
 ora, poiché i numeri sono diversi, e Nr dà lo stesso resto di Ni se diviso per 9,
 ==> MAX(Ni, Nr) / min(Ni, Nr) = 26k con k naturale positivo, in quanto l\'ordine moltiplicativo di 2 rispetto a 9 è proprio phi(9), cioè 6.
 
 ma 26k > 10 per ogni k naturale positivo
 ==> Ni e Nr non possono avere lo stesso numero di cifre, ma ciò è assurdo.
 
 CONCLUSIONE: non esiste un naturale che è una potenza di 2 dal quale otteniamo un\' altra potenza di 2 riarrangiando le sue cifre, nella consueta forma decimale.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Sarò ottuso, ma non vedo dove stia l\'assurdo!!! Sia ben chiaro... non dico che le conclusioni di Biagio siano sbagliate (in verità, non affermo neppure il contrario), ma semplicemente che le argomentazioni proposte mi paiono insufficienti, e onde spiegarne le ragioni, v\'invito a riflettere (ovverosia, risolvere) il seguente:
 
 Problema: sia {bn} la successione delle successive potenze del 2. Dimostrare allora che, comunque fissato un k intero positivo, esiste sempre un indice n tale che la rappresentazione posizionale in base 10 del termine bn contenga almeno k zeri (ovviamente, sono esclusi dal computo gli zeri \"formali\" posti a sinistra della cifra più significativa della rappresentazione). [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 15-03-2004 17:59 ]

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-15 17:56, euler_25 wrote:
 Sarò ottuso, ma non vedo dove stia l\'assurdo!!!
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 no, non sei ottuso, forse hai solo bisogno degli occhiali (o di cambiarli)... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">

euler_25 · Messaggio da **euler_25** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-15 18:44, Biagio wrote:
 No, non sei ottuso, forse hai solo bisogno degli occhiali (o di cambiarli)...</BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 Uhm... continuo a non capire... TU sostieni che l\'assurdo sia conseguente al fatto che i due interi, essendo l\'uno il riarrangiamento delle cifre decimali dell\'altro, non possono che avere lo stesso numero complessivo di cifre significative, trascurati ovviamente gli zeri \"formali\" posti a sinistra della most significative digit . Bene, è proprio questo tuo argomento che non mi convince.
 
 La rappresentazione posizionale in base 10 relativa al generico intero della forma bn := 2n (con n€N) potrebbe contenere un numero comunque elevato di zeri, così come suggerito dal problema che ho proposto nel precedente intervento.
 
 Tanto per intenderci, supponiamo che sia bn = (a0a1...ar)10, ove si ammette che la rappresentazione posizionale decimale di bn utilizzi un numero complessivo
 r > 0 di cifre significative a0, a1, ..., ar, con 0 ≤ ai ≤ 9, per ogni i = 1, 2, ..., r ed a0 != 0. Ora, sulla base di quanto si è detto, al crescere di n, o equivalentemente di r, il numero di zeri eventualmente presenti fra le cifre della rappresentazione diventa arbitrariamente grande, e dunque un loro riarrangiamento, che preveda lo shift di questi medesimi zeri sulle posizioni corrispondenti alle cifre più significative della stringa decimale (a0a1...ar)10, genera, fra gli altri, un certo numero di interi più piccoli per \"molti\" ordini di grandezza rispetto a bn.
 
 Ciò detto, è chiaro adesso il senso di quel che intendevo, là dove ho obiettato che le tue argomentazioni, o Biagio, non mi paion sufficienti acché il problema possa dirsi definitivamente risolto???
 
 P.S.: e comunque, giusto per la cronaca e i rotocalchi rosa... non porto gli occhiali e non credo affatto di averne alcun bisogno... quelli dovresti suggerirli piuttosto ai fanatici del solipsismo erotico! Vuoi qualche nome? Beh, vediamo un po\'... com\'è che si direbbe cerebro in quel di Princeton? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 16-03-2004 02:22 ]

Biagio · Messaggio da **Biagio** » 01 gen 1970, 01:33

mmm...aggiungerei al testo del problema: il riarrangiamento non può porre zeri all\'inizio del numero... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-14 20:17, febiz2004 wrote:
 4)dimostrare che vale la disuguaglianza:
 a^3/x+b^3/y+c^3/z>=(a+b+c)^3/3(x+y+z)
 con a,b,c,x,y,z reali positivi
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 quel x+y+z a secondo membro è a denominatore? [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 16-03-2004 19:13 ]

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Mi manca il concetto di ordine moltiplicativo. Nn è che avete un link di livello abbastanza decente su queste cose (cioè congruenze a varie)?
 thx

febiz2004 · Messaggio da **febiz2004** » 01 gen 1970, 01:33

se non capite quelcosa nei testi fatemelo presente...io nn sono la perfezione a scriverli quindi......

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-16 19:12, talpuz wrote:
 <TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-14 20:17, febiz2004 wrote:
 4)dimostrare che vale la disuguaglianza:
 a^3/x+b^3/y+c^3/z>=(a+b+c)^3/3(x+y+z)
 con a,b,c,x,y,z reali positivi
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 quel x+y+z a secondo membro è a denominatore?
 
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 16-03-2004 19:13 ]
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 On 2004-03-16 19:41, info wrote:
 Mi manca il concetto di ordine moltiplicativo. Nn è che avete un link di livello abbastanza decente su queste cose (cioè congruenze a varie)?
 thx
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 \"ordine moltiplicativo di m modulo a\"=min[ n | mn==1 (mod a) ]
 non so fare le graffe, quello in parentesi è un insieme
 
 in pratica è il più piccolo naturale n tale che mn==1 (mod a)
 (ovviamente la definizione perde significato se a|m)
 
 se hai le dispense di Gobbino c\'è tutto, altrimenti non saprei [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 16-03-2004 21:14 ]

febiz2004 · Messaggio da **febiz2004** » 01 gen 1970, 01:33

a+b+c tutto elevato alla terza su..... x+y+z

info · Messaggio da **info** » 01 gen 1970, 01:33

Grazie Talpuz nn era nulla di speciale quindi. Mi ricordo che dopo un casino tempo fà avevo fatto un es sul Courant che diceva di dimostrare che
 a^[phi(n)]=1 mod n
 Ma si può dire che phi(n) è l\'ordine moltiplicativo di m modulo a? Cioè, è il + piccolo numero con quella proprietà (come del resto ha usato Biagio nella sua dim)? Sinceramente nn ho + il courant e quindi nn so dove guardare.
 Cmq grazie: mi sei stato di grande aiuto!
 A buon rendere

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

in effetti no,
 nel senso che orda(m) può essere più piccolo di phi(a)
 (e in questo caso comunque orda(m) | phi(a))
 
 anzi, i numeri per i quali succede che orda(m)=phi(a) sono i cosiddetti \"generatori\" o \"radici primitive\" modulo a, ed hanno notevoli proprietà
 
 (tanto per dirne una, se g è generatore modulo a, allora g1,g2,...,gphi(a) rappresentano un sistema completo di residui modulo a, cioè ciascuno di essi è congruo a uno e un solo intero compreso tra 1 e a-1 (inclusi))
 
 non esistono generatori per ogni numero a, ma solo per a=2 a=4 a=pk a=2pk con p primo
 
 se biagio ha usato questa proprietà nell\'es, vorrà dire che 2 è generatore modulo 9 (controlla, se vuoi)
 
 cmq non preoccuparti, se hai altri dubbi chiedi pure <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
 
 edit: avevo fatto casino con la notazione, ora è a posto [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 18-03-2004 18:35 ]