calcolare un angolo a partire dal suo coseno

In questo forum si discute delle Olimpiadi di Matematica

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smarty
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Messaggio da smarty » 01 gen 1970, 01:33

Ciao a tutti<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>Se, in un triangolo rettangolo, conosco il coseno dell\'angolo che calcolo con lato adiacente/ipotenusa, come faccio a calcolare l\'angolo relqtivo a quel coseno.
<BR>Ho appena cominciato a studiare trigonometria a scuola, ma il mio insegnante non è molto bravo e io sono timida e non ho il coraggio di dirgli che non ho capito.
<BR>A me sembra che lui utilizzi o delle tavole specifiche oppure dei calcoli empirici, ma non ne sono sicura.
<BR>
<BR>Eppure ci deve essere una formula matematica idonea.
<BR>E\' due giorni che ci penso ma non ho capito come fare<IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>Grazie a tutti
<BR>
<BR>Smarty

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Beh, ti rispondo io, mia cara! Ma soltanto perché sei una ragazza... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>E allora... in effetti il tuo prof non è che sia ispirato da chissà quale nume celeste o che adopri quale mirabile artificio per risalire al valore d\'un angolo noto il suo coseno! Semplicemente, sì come peraltro tu stessa hai sospettato, si limita a tenere a mente il valore del seno e del coseno corrispondenti a un certo numero (immagino, neppure troppo consistente) di angoli \"d\'uso comune\" (mi si passi l\'espressione). E in ogni caso, sul tuo libro di testo (a meno che non sia una qualche scalcinata simìl dispensa del tuo prof...) dovrebbero esistere delle tavole che ne riportano un elenco ampio e dettagliato. Soltanto, nel consultarle, tieni presente che (almeno in generale) esistono sempre due angoli all\'interno dell\'intervallo [0, 2Pi) corrispondenti ad uno stesso valore del seno e del coseno. La scelta critica, nel caso dei triangoli, riguarda tuttavia soltanto il seno, poiché ciascuno degli angoli interni di un poligono trilato (non degenere) è pur sempre compreso fra 0 e Pi, estremi esclusi, dove il coseno è una funzione iniettiva (ad angolo distinti entro quest\'intervallo corrispondono valori distinti del coseno). Spero di esserti stato d\'un qualche aiuto, altrimenti manifesta pure le tue perplessità, non farti problemi! Stai pur certa che qualcuno non mancherà certamente di replicarti! Sciao, per il momento. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>Salvo alias euler_25
<BR>
<BR>P.S.: ah, un consiglio! Non esser timida. Se qualcosa non ti è chiara nella spiegazione del tuo prof... diglielo, non ti vergognare! A che ti giova startene zitta? Tanto più che la voglia di imparare mi par non ti manchi, per cui... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 07-02-2004 00:46 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

smarty
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Messaggio da smarty » 01 gen 1970, 01:33

Grazie mille euler_25
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>Il mio problema è che vivo a parigi da pochi mesi e il mio francese non è ancora sufficiente.
<BR>Poi in francia i libri sono gratuiti per le scuole dell\'obbligo e questo mi sembra una gran cosa.
<BR>Solo che c\'è il rovescio della medaglia: lo stato li utilizza per più anni, facendoli passare da studente a studente.
<BR>In questo modo gli insegnanti non li utilizzano e ci riempiono di fotocopie da incollare sui quaderni.
<BR>Mi procurero\' un libro con le tavole
<BR>
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif">
<BR>
<BR>Pero\' ho pensato cosi\' tanto a questo problema di calcolare l\'angolo corrispondente al suo coseno che mi dispiace proprio sapere che si debba ricorrere a formule empiriche.
<BR>
<BR>Scusa la domanda: ma è proprio impossibile scoprire una relazione formale tra l\'angolo e il suo coseno oppure il suo seno?
<BR>
<BR>Un grandissimo grazie
<BR>smarty

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Antimateria
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Messaggio da Antimateria » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-02-07 10:37, smarty wrote:
<BR>Scusa la domanda: ma è proprio impossibile scoprire una relazione formale tra l\'angolo e il suo coseno oppure il suo seno?
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>La relazione formale esiste, ed è appunto quella che hai detto tu: uno è l\'angolo, l\'altro è il suo seno o coseno!
<BR>Se cerchi un modo per calcolarlo con le 4 operazioni, il meglio che puoi fare è usare le serie di Taylor, che però non sono formule chiuse. Insomma, per avere il risultato esatto devi continuare a sommare all\'infinito...
<BR>Comunque le funzioni che cerchi si chiamano arcoseno e arcocoseno, e penso che qualunque libro di V liceo, arbitrariamente scalcinato, riporti i loro sviluppi in serie. Se fai una ricerca su internet, non ti sarà difficile (spero) trovare delle dispense ben spiegate sulle serie di potenze.

LB
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Messaggio da LB » 01 gen 1970, 01:33

La relazione si puo\' trovare a partire dalla definizione geometrica poiche\' una circonferenza di raggio unitario e\' definibile con la formula f(x) = +-sqrt(1 - x^2), da cui, sapendo che la lunghezza di una curva per a <= x <= b e\' data da int (a -> b) sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx, si ottiene che z = int(cos z -> 1) sqrt(1 + f\'(x)^2) dx (per 0 <= z <= pi) o equivalentemente che arccos(z) = int(z -> 1) sqrt(1 + f\'(x)^2) dx.
<BR>
<BR>Da questo, dopo vari smanettamenti analitici, si possono ricavare le serie delle funzioni trigonometriche.
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: LB il 07-02-2004 17:48 ]

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Messaggio da J4Ck202 » 01 gen 1970, 01:33

<BR>Sì, beh, volendo hai anche (per x in (-1;1))
<BR>
<BR>arcsin(x) = pi x/2 + sum[j=1..+inf] BesselJ(0,n pi) sin(n pi x)/n
<BR>
<BR>utile, no? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>
<BR>
<BR>

smarty
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Messaggio da smarty » 01 gen 1970, 01:33

Ciao LB<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>Per cortesia mi spieghi cosa significa \"sqrt\"?
<BR>Anche \"int\"?
<BR>Forse così riuscirò a \"leggere\" le tue formule<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">)
<BR>Grazie comunque per avermi aiutata, ciao Smarty<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">))
<BR>La relazione si puo\' trovare a partire dalla definizione geometrica poiche\' una circonferenza di raggio unitario e\' definibile con la formula f(x) = +-sqrt(1 - x^2), da cui, sapendo che la lunghezza di una curva per a <= x <= b e\' data da int (a -> b) sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx, si ottiene che z = int(cos z -> 1) sqrt(1 + f\'(x)^2) dx (per 0 <= z <= pi) o equivalentemente che arccos(z) = int(z -> 1) sqrt(1 + f\'(x)^2) dx.
<BR>
<BR>Da questo, dopo vari smanettamenti analitici, si possono ricavare le serie delle funzioni trigonometriche.
<BR>

smarty
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Messaggio da smarty » 01 gen 1970, 01:33

J4Ck202 scriveva:
<BR>
<BR>\"Sì, beh, volendo hai anche (per x in (-1;1))
<BR>
<BR>arcsin(x) = pi x/2 + sum[j=1..+inf] BesselJ(0,n pi) sin(n pi x)/n
<BR>
<BR>utile, no?\"
<BR>Per cortesia, mi interessa molto la questione ma mi oresti spiegare più diffusamente il tuo suggerimento?
<BR>Io intanto sto tentando di capire la serie di Taylor, come mi ha suggerito Antimateria.
<BR>
<BR>Grazie di cuore a tutti, ciao<IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

sqrt(x) significa radice quadrata di x.
<BR>Int(...) significa integrale.

mola6
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Messaggio da mola6 » 01 gen 1970, 01:33

altrimenti se hai una calcolatrice scientifica ci dovrebbe essere la funzione inv. di sin e cos, ma purtroppo non c\'è su tutte...neanche sulla mia... <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif"> [addsig]
"Per perdere la testa, bisogna innanzi tutto averne una!" A. Einstein

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Messaggio da psion_metacreativo » 01 gen 1970, 01:33

ma la calcolatrice come fa a calcolare sin e arcsin?

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

Né più né meno di come faresti te se ti toccasse computarli <!-- BBCode Start --><I>manualmente</I><!-- BBCode End -->... i suoi circuiti sono realizzati in modo tale da implementare degli algoritmi numerici quanto più efficienti possibile (in termini di tempi di calcolo, dimensioni dell\'hardware, ordine di precisione <!-- BBCode Start --><I>and so on</I><!-- BBCode End -->) che utilizzino non altro che le quattro operazioni razionali. Tutto lì... più o meno... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
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bh3u4m
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Messaggio da bh3u4m » 01 gen 1970, 01:33

Per il seno e coseno credo che in sostanza partono da un angolo noto e con le operazioni di somma e differenza di angoli cerchino di avvicinarsi il più possibile al risultato.
<BR>
<BR>Per l\'arcsin non so precisamente, ma la risoluzione di questo problema ha a che fare con la quadratura del cerchio... forse sul sito di Wolfram trovi qualcosa a riguardo.
In the break of new dawn
My hope is forlorn
Shadows they will fade
But I'm always in the shade
Without you...

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