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In questo forum si discute delle Olimpiadi di Matematica

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germania2002
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Messaggio da germania2002 » 01 gen 1970, 01:33

info tu hai scritto:
<BR>
<BR>rad (x_1^2+x_2^2...+x_n^2/n)>=(x_1+x_2+...x_n)/n
<BR>Dopo aver elevato al quadrato si ottiene:
<BR>x1+x2+...+xn>=n(2n+1)/3
<BR>
<BR>ora x1^2 + x2^2 + x3^2+...xn^2 in radice non perdono la potenza, poichè e come se fosse: (a^2+b^2+c^2+...) che non permetti raggruppamenti. E comunque se fosse possibile poi tu rielevi al quadrato???? Cioè metti la radice e dopo l\'annulli???
<BR>
<BR>Sarebbe più elegante se forse avevi pensato che
<BR>(n^2(n^2+1)/n^2 (che non sò se rispetta la sommatoria normale), e poi fatt questo passaggio avresti potuto fare:
<BR>Rad^2 [(n^2(n^2+1)/n^2]
<BR>e poi i passaggi da te descritti...
<BR>
<BR>Cmq vista la mia infimità in matematica non vorrei sbagliare.[addsig]
"un uomo deve migliorare di qualcosa il mondo, se si vuole sentire realizzato..."
"Deutschland der beste Staat!"
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info
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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Allora, elevando al quadrato e moltiplicando *nsi ottiena:
<BR> x1^2+x2^2+...+xn^2>=(x1+x2+...+xn)^2/n
<BR>Ho poi sostituito nel problema a ciò:
<BR>x1^2+x2^2...+xn^2
<BR>la parte di destra della disequazione: in effetti la disequazione iniziale viene rafforzata. Ciò permette di dividere entrambi i membri per x1+x2+..+xn e di giungere alla forma voluta,....
<BR>In effetti ho saltato qualche passaggio
<BR> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: info il 09-01-2004 15:53 ]

mola6
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Messaggio da mola6 » 01 gen 1970, 01:33

nessuno che dimostra il primo eserc?
"Per perdere la testa, bisogna innanzi tutto averne una!" A. Einstein

euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-05 19:16, febiz2004 wrote:
<BR>
<BR>Let x,y be positive integers such that xy-1 is a square. show that each of x and y is a sum of two squares. (in this question 0 counts as a square)
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>E allora, siccome il problema par d\'essere piuttosto semplice, al punto che tutti l\'hanno un po\' trascurato, mi ci presto io a toglierlo di mezzo...
<BR>
<BR>Per ipotesi, gli interi x,y sono positivi e tali che xy-1 è un quadrato perfetto; in altre parole, esiste un terzo intero a€N tale che: xy = a<sup>2</sup>+1. Se x = 1, evidentemente si può porre x = 1<sup>2</sup>+0<sup>2</sup>, e dunque tutto il problema si riduce a dimostare che y è esprimibile come somma di due quadrati. Analogo discorso allorché y = 1. Questa prima considerazione (necessaria quantunque banale) consente pertanto di supporre, per il seguito: min{x,y} > 1. Ora, per via di quest\'assunzione, par chiaro che, al fine di provare la sussistenza dell\'asserto, è sufficiente dimostrare che ciascuno dei fattori primi che intervengono nella decomposizione canonica di x ed y così come stabilita dal teorema fondamentale dell\'Aritmetica si può sempre esprimere come somma di due quadrati e sfruttar di conseguenza la proprietà secondo cui la relazione f(-): R --> R: x --> x<sup>2</sup> soddisfa (come qui si darà per noto) l\'equazione funzionale:
<BR>
<BR>[f(u)+f(v)]*[f(z)+f(t)] = f(uv-zt) + f(ut+vz), p.o. u,v,z,t€R
<BR>
<BR>Ora, il numero 2 è chiaramente esprimibile come somma di quadrati, per cui il problema è ricondotto essenzialmente a stabilire se e quando gli eventuali fattori primi di valenza dispari divisori di x ed y godono essi stessi della proprietà di cui qui si discute. Orbene, sia detto p > 2 uno qualsiasi di sì tal fattori. Poiché p | xy e inoltre xy = a<sup>2</sup>+1, ne fa seguito: a<sup>2</sup> ≡ -1 (mod p), sicché -1 dev\'essere necessariamente un residuo quadratico mod p, onde potersi imporre:
<BR>
<BR>Jacobi(-1,p) = 1 ==> (-1)<sup>(p-1)/2</sup> = 1 ==> (p-1)/2 ≡ 0 mod 2 ==> p ≡ 1 mod 4
<BR>
<BR>In altre parole, ogni fattore primo p di valenza dispari che sia divisore eventuale di x od y è della forma 4k+1 (con k intero positivo). E allora, per un noto teorema enunciato prima da Fermat e Girard e dimostrato poi più tardi dal sommo maestro Eulero (ed oggi inquadrato con grande profitto nell\'ambito più generale della Teoria dei Gruppi), p è certamente esprimibile come somma di due quadrati, q.e.d. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 31-01-2004 14:13 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>

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talpuz
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Messaggio da talpuz » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-09 15:21, info wrote:
<BR>[2]
<BR>Basta osservare che x1*x2^4>=x2*x1^4 se x1 minore di x2
<BR>
<BR> x2*x3^4>=x3*x2^4 se x2 minore di x3....
<BR> .......
<BR>Sommando membro a membro si ottiene la tesi.
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>
<BR>e per
<BR>
<BR>x<sub>n</sub>*x<sub>1</sub><sup>4</sup>>=x<sub>n</sub><sup>4</sup>*x<sub>1</sub>
<BR>
<BR>come la mettiamo?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 01-02-2004 19:12 ]
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euler_25
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Messaggio da euler_25 » 01 gen 1970, 01:33

<!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>On 2004-01-06 14:27, febiz2004 wrote:
<BR>Se a>=b>=c e x>=y>=z sono numeri reali <!-- BBCode Start --><B>positivi</B><!-- BBCode End -->, dimostrare che:
<BR>(a<sup>2</sup>x<sup>2</sup>)/((by+cz))(bz+cy))+(b<sup>2</sup>y<sup>2</sup>)/((cz+ax)(cx+az))+(c<sup>2</sup>z<sup>2</sup>)/((ax+by)(ay+bx))>=3/4
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>OK, vedo di completare la soluzione di Biagio! E alura... iniziamo col dimostrare <!-- BBCode Start --><I>the following interesting condition</I><!-- BBCode End --> (direbbe qualcuno...):
<BR>
<BR><!-- BBCode Start --><B>Lemma</B><!-- BBCode End -->: comunque scelti n ≥ 2 reali positivi u<sub>1</sub>,u<sub>2</sub>,...,u<sub>n</sub> e per ogni intero m > 0:
<BR>
<BR>sum[k=1...n] [u<sub>k</sub>/S<sub>k</sub>(u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, ..., u<sub>n</sub>)]<sup>m</sup> ≥ n/[(n-1)<sup>m</sup>]
<BR>
<BR>ove si è posto S<sub>k</sub>(u<sub>1</sub>, u<sub>2</sub>, ..., u<sub>n</sub>) := sum[i != k, i=1...n] u<sub>i</sub>. In particolare, l\'uguaglianza fra i due membri della precedente relazione sussiste allorché e soltanto quando: u<sub>1</sub> = u<sub>2</sub> = ... = u<sub>n</sub>.
<BR>DIM.: beh, direi che può ritenersi un simpatico esercizio, quindi... <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif">
<BR>
<BR>Orsù, ciò stabilito..., torniamo al problema di Febiz! <!-- BBCode Start --><I>As Biagio observed</I><!-- BBCode End -->:
<BR>
<BR><!-- BBCode Quote Start --><TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD><font size=-1>Quote:</font><HR></TD></TR><TR><TD><FONT SIZE=-1><BLOCKQUOTE>
<BR>...se x,y,z e a,b,c sono ordinate nello stesso modo ax+by>=ay+bx, cz+by>=cy+bz, ax+cz>=cx+az per il riarrangiamento, quindi sostituendo tali fattori nei denominatori del primo membro...
<BR></BLOCKQUOTE></FONT></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE><!-- BBCode Quote End -->
<BR>...se ne deduce (evidentemente) che:
<BR>
<BR>(a<sup>2</sup>x<sup>2</sup>)/[(by+cz)(bz+cy)]+(b<sup>2</sup>y<sup>2</sup>)/[(cz+ax)(cx+az)]+(c<sup>2</sup>z<sup>2</sup>)/[(ax+by)(ay+bx)] ≥
<BR>≥ [(ax)/(by+cz)]<sup>2</sup>+[(by)/(cz+ax)]<sup>2</sup>+[(cz)/(ax+by)]<sup>2</sup>
<BR>
<BR>sicché, ponendo u<sub>1</sub> := ax, u<sub>2</sub> := by ed u<sub>3</sub> := cz e applicando di conseguenza il lemma di cui sopra ho riferito (con n = 3 ed m = 2), banalmente... fa seguito l\'asserto, q.e.d.
<BR>
<BR>Salvo alias euler_25
<BR>
<BR>P.S.: mi permetto di annotare esplicitamente, come peraltro (in un certo senso) già rilevato dal buon Biagio, che la disuguaglianza contemplata dalla traccia del problema proposto da quel caro legnaccio di Febiz perde di validità se ci si svincola dalla restrizione secondo cui le entità reali in esso coinvolte non siano dotate tutte di segno positivo. Basti considerare, in tal senso, il caso limite in cui ciascuno dei parametri anzidetti risulti essere, di converso all\'ipotesi indicata, (strettamente) minore di zero. Quindi, Febiz, a nome di tutti... cerca d\'esser un tantino più <!-- BBCode Start --><I>perfettizzimo</I><!-- BBCode End --> nelle tue traduzioni dall\'inglese, eh eh! <IMG SRC="images/forum/icons/icon21.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 02-02-2004 13:18 ]
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