Matrici Jacobiane
Moderatore: tutor
Il tutto c\'entra con geometria differenziale e, se solo questo simil-notepad avesse qualche simbolo decente ne scriverei anche la definizione ed alcune proprietà. Dette a parole vengono uno schifo e non si capisce niente. Cmq, vengono utilizzate per derminare la direzione di massima pendenza in una superficie n-dimensionale ed il famigerato versore normale ad una superficie - questo calcolo è così chiaro che esistono diverse definizioni di versore normale ad una sup...e tutte danno un risultato differente. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
Aladin to the genius: "Oh, great spirit! My desire is that you do not fullfill my desire"
The genius was enlightened.
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Ah, le derivate direzionali...
<BR>Data una f(x,y) da R<sup>2</sup> in R differenziabile, la derivata parziale Df/Dx (x,y) indica la variazione di f al variare di x, per y fissato, cioè è la derivata ordinaria della f su una retta y=cost. Poiché gli assi x e y non hanno un ruolo privilegiato rispetto ad altre rette, può essere utile conoscere la variazione della f lungo una direzione non parallela a un asse; ad esempio mi interessa conoscerla sulla retta y=x. A tal fine si introducono le derivate direzionali: sia v=(v1,v2) un versore (cioè norma di v=||v||=1); si definisce derivata direzionale della f lungo la direzione v la derivata Df/Dv=v1 Df/Dx + v2 Df/Dy. Il perché si capisce: si consideri la retta per l\'origine con direzione v, cioè (t*v1,t*v2) t in R. allora la derivata di f lungo v è, ragionevolmente, la derivata rispetto a t della funzione F(t)=f(t*v1,t*v2) e per chi sa come si deriva una funzione di + variabili tale derivata è proprio v1*[Df/Dx (t*v1,t*v2)]+v2*[Df/Dy (t*v1,t*v2)].
<BR>
<BR>Data una f:R<sup>3</sup>->R differenziabile, il gradiente di f è il vettore (fx, fy, fz) (fx è la derivata parziale rispetto a x); non è altro che la matrice jacobiana a una riga e 3 colonne che rappresenta il differenziale; si parla di gradiente, più in generale per una f:R<sup>n</sup>->R
<BR>Es: sia V(x,y,z)=mgz l\'energia potenziale gravitazionale; si ha -grad(V)=(0,0,-mg)=F(x,y,z) forza di gravità in (x,y,z).
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<BR>Data una f(x,y) da R<sup>2</sup> in R differenziabile, la derivata parziale Df/Dx (x,y) indica la variazione di f al variare di x, per y fissato, cioè è la derivata ordinaria della f su una retta y=cost. Poiché gli assi x e y non hanno un ruolo privilegiato rispetto ad altre rette, può essere utile conoscere la variazione della f lungo una direzione non parallela a un asse; ad esempio mi interessa conoscerla sulla retta y=x. A tal fine si introducono le derivate direzionali: sia v=(v1,v2) un versore (cioè norma di v=||v||=1); si definisce derivata direzionale della f lungo la direzione v la derivata Df/Dv=v1 Df/Dx + v2 Df/Dy. Il perché si capisce: si consideri la retta per l\'origine con direzione v, cioè (t*v1,t*v2) t in R. allora la derivata di f lungo v è, ragionevolmente, la derivata rispetto a t della funzione F(t)=f(t*v1,t*v2) e per chi sa come si deriva una funzione di + variabili tale derivata è proprio v1*[Df/Dx (t*v1,t*v2)]+v2*[Df/Dy (t*v1,t*v2)].
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<BR>Data una f:R<sup>3</sup>->R differenziabile, il gradiente di f è il vettore (fx, fy, fz) (fx è la derivata parziale rispetto a x); non è altro che la matrice jacobiana a una riga e 3 colonne che rappresenta il differenziale; si parla di gradiente, più in generale per una f:R<sup>n</sup>->R
<BR>Es: sia V(x,y,z)=mgz l\'energia potenziale gravitazionale; si ha -grad(V)=(0,0,-mg)=F(x,y,z) forza di gravità in (x,y,z).
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