logaritmi...

AleX_ZeTa · Messaggio da **AleX_ZeTa** » 01 gen 1970, 01:33

mi serve sapere se, come credo, il logaritmo di un valore dotato di dimensione restituisca un valore adimensionale, cioè un numero puro...
 
 credo di sì xkè:
 
 se T=temperatura e x=ln T2/T1 allora x è sicuramente adimensionale (T2/t1 è numero puro)...
 
 ma se x=ln T2/T1 allora x=ln T2 - ln T1... e in questo caso [x]=[ln T1]=[ln T2]... quindi dovrebbero essere anch\'essi numeri puri...
 
 ho detto una stronzata?
 
 (l\'altra idea, + seria, che ho ma che nn ho voglia di seguire è quella di considerare le basi dei logaritmi come dimensionate e lavorarci sopra... ma mi vedo già troppo incasinato)

logicus · Messaggio da **logicus** » 01 gen 1970, 01:33

Da quello che ne so, il logaritmo accetta come argomento solo numeri puri, così come l\'esponenziale; nell\'esempio che tu fai (che riguarda la fisica) infatti il rapporto tra le temperature è un numero puro. La mia idea è che la trasformazione che tu fai, da logaritmo del rapporto a differenza di logaritmi, è matematicamente corretta (ed il risultato numerico è lo stesso) ma fisicamente priva di senso: un gioco algebrico, insomma, un po\' come scrivere F=RADICE(m^2*a^2). In tutta la mia esperienza di logaritmi ed esponenziali incontrati in fisica c\'erano sempre dei rapporti o prodotti che si combinavano adimensionalmente, proprio come le temperature.
 Hai chiesto a qualche insegnante?
 
 Davide
 \"La violenza è l\'ultimo rifugio degli incapaci\"
 Hari Seldon (Isaac Asimov) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: logicus il 25-05-2003 19:30 ]

publiosulpicio · Messaggio da **publiosulpicio** » 01 gen 1970, 01:33

Alex non ho nessuna voglia di pensarci ma scrivo nel tuo interessantissimo post lo stesso...

Galois85 · Messaggio da **Galois85** » 01 gen 1970, 01:33

a naso direi ke il logaritmo kome l\'esponenziale nn restituisce l\'adimensionalità, ma fa mutare le grandezze fisiche
 mi viene un esempio stupido kon l\'esponenziale
 
 se ho [1metro]^X avrò al variare di x metri quadrati metri cubi...
 allo stesso modo col logaritmo avrò grandezze fisiche diverse che variano
 a seconda della funzione applicata...

AleX_ZeTa · Messaggio da **AleX_ZeTa** » 01 gen 1970, 01:33

vabbe... sorvolerò il problema con una cosa del tipo:
 
 A=grandezza con dimensioni [A]=d ... a=grandezza con dimensioni [a]=1/d e valore unitario
 
 ln A1/A2=ln aA1/aA2=ln A1/a - ln A2/a
 
 così è tutto adimensionato <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

logicus · Messaggio da **logicus** » 01 gen 1970, 01:33

Qual era il problema?

Messaggio da **ma_go** » 01 gen 1970, 01:33

così a occhio direi la variazione di entropia di un gas che passa da un temperatura T1 a una temperatura T2 (in kelvin, ovvio)...
 ma ricorda che c\'è la costante di boltzmann, prima... che è espressa in J/K (credo...), per cui il logaritmo dovrebbe essere adimensionale...
 e la X di cui parli è un numero che non è esattamente una variabile... è piuttosto una caratteristica della varietà che consideri (in questo caso il suo numero di dimensioni).

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Bella domanda...
 dunque, y=log(a)x <=> a^y=x con log(a) logaritmo in base a.
 Quindi una possibile soluzione consiste nel considerare la base fornita della stessa unità di misura (D) dell\'argomento, mentre sia E l\'unità di misura del valore della funzione log: (aD)^(yE)=xD => a^y * D^E=x*D => E=1 e quindi y è adimensionale.
 Questo perchè le unità di misura devono essere sottoposte alle stesse operazioni cui sottoponiamo i valori che esse indicano.
 Altrimenti ci si può ridurre all\'apodittica affermazione che log è una funzione definita da R+ a R e quindi non prevede unità di misura nè nell\'argometo nè nel valore.

logicus · Messaggio da **logicus** » 01 gen 1970, 01:33

Quindi il logaritmo ammette unità di misura nell\'argomento... che bello, non l\'avevo mai incontrato prima! Ma come tratto il logaritmo di una unità di misura? Hai qualche esempio fisico in cui c\'è il logaritmo di un valore dimensionale (non riconducibile ad un valore adimensionale, ovviamente)?

Belegrand · Messaggio da **Belegrand** » 01 gen 1970, 01:33

Il significato di log(a)b è quello di esponente da dare ad a per ottenere b.
 Pertanto se a è adimensionale lo deve essere pure b.
 D\'altro canto se a non è adimensionale si creano su troppi casini per quanto riguarda l\'esistenza e anche la espressione delle unità di misura, pertanto non credo che la base possa non essere un numero puro.
 Per quanto riguarda T1/T2 credo che si possa risolvre (anche se è molto grezza) semplificando le unità di misura prima di fare i due log.[addsig]

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

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 On 2003-05-26 13:30, logicus wrote:
 Quindi il logaritmo ammette unità di misura nell\'argomento... che bello, non l\'avevo mai incontrato prima! Ma come tratto il logaritmo di una unità di misura? Hai qualche esempio fisico in cui c\'è il logaritmo di un valore dimensionale (non riconducibile ad un valore adimensionale, ovviamente)?
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 No, no... la mia era pura speculazione...cercavo un modo per risolvere la faccenda (una scappatoia) che consentisse di evitare l\'affermazione categorica: il logaritmo accetta come argomento e base solo numeri puri e restituisce solo numeri puri, quindi quando viene applicato in fisica si deve utilizzare come arg un rapporto tra grandezze omogenee di cui il divisore serve da scala, poichè il logaritmo è di solito utilizzato per maneggiare con più facilità valori che variano da 1 a numeri molto grandi (tipo i dB) ed è alla base di molte \"scale\" come quella Richter dei terremoti.
 In sè, il logaritmo di una unità di misura è un nonsenso matematico, poichè il concetto stesso di unità di misura è sempre andato indigesto ai matematici, almeno quanto è sempre piaciuto ai fisici. e perciò non è mai facile trattarle: in gnerale, tutte le funzioni matematiche sono adimensionali, è la fisica che ci attacca dietro le u.d.m.
 
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DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

gli argomenti dei logaritmi sono adimensionali come gli esponenti.
 Se poi vuoi trasformarli in logaritmi con argomenti con unità di misura, padronissimo, ma le unità di misura in tutti i problemi che ti capiteranno nella tua vita le puoi sempre semplificare (nel senso: log300K/50K=log300K-log50K= log300+logK-log50-logK. Quanto vale logK? E chissenefrega?)

logicus · Messaggio da **logicus** » 01 gen 1970, 01:33

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 le unità di misura in tutti i problemi che ti capiteranno nella tua vita le puoi sempre semplificare (nel senso: log300K/50K=log300K-log50K= log300+logK-log50-logK. Quanto vale logK? E chissenefrega?)
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 La mia forse è solo una pignoleria... ma il dubbio mi sta diventando esistenziale.
 Intanto, se si deve semplificare viene da subito (esplicito i passaggi):
 log[(300/50)*(K/K)] = log[(300/50)*1] = log(300/50) = log(6)
 che è quello che pensavo, non esiste il logaritmo di una dimensione, non ci arrivi mai, a meno di una forzatura, che molto probabilmente è priva di un significato fisico. Mi spiego: se si presentasse senza possibilità di semplificazione un log(K) sarebbe diverso, perchè puoi anche buttarlo via ma resta il problema di cosa sia, se esista e se abbia un significato; se esiste, evidentemente esiste anche da solo, in una situazione cioè in cui non si semplifica, e allora come lo tratto, cosa rappresenta? Se invece si semplifica SEMPRE, allora ne risulta che il logaritmo, ufficialmente e in tutti i casi conosciuti, ammette solo numeri adimensionali come argomento. É un po\' come lavorare in R e trovare RADICE(-1) e dire \"lo butto via tanto ce ne sono due di opposti...\"
 
 Fanno eccezione le scale logaritmiche (richter, ph) che sono logaritmi di entità dimensionate, ma si tratta di metodi di confronto arbitrari e \"slegati\" dalla fisica e dalla matematica (per quel che ne so; ma penso al ph, ogni volta bisogna ripassare per le concentrazioni, non ci sono operazioni con il ph o formule con il ph.)
 
 Davide
 \"La violenza è l\'ultimo rifugio degli incapaci\"
 Hari Seldon (Isaac Asimov) [ Questo Messaggio è stato Modificato da: logicus il 27-05-2003 18:58 ]

afullo · Messaggio da **afullo** » 01 gen 1970, 01:33

Fanno eccezione le scale logaritmiche (richter, ph) che sono logaritmi di entità dimensionate, ma si tratta di metodi di confronto arbitrari e \"slegati\" dalla fisica e dalla matematica (per quel che ne so; ma penso al ph, ogni volta bisogna ripassare per le concentrazioni, non ci sono operazioni con il ph o formule con il ph.)
 
 
 concordo con chi ha scritto ciò, per esempio il pH è -log[H+] dove H+ viene considerato numero puro sottintenendo mol/l, e possiamo trovare anche altri esempi di questo (ora non me ne vengono in mente specifici però ce ne sono altri, anche se in effetti è arbitrario perchè per una corretta dimensionalità fisica la dimensione ci andrebbe, però in questo caso non si potrebbe calcolare il logaritmo oppure sarebbe senza dubbio decisamente più inkasinato

DD · Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

si semplifica sempre. D\'altra parte anche nei casi in cui la fisica s\'inventa dei logaritmi con argomento che sembrerebbe avere una dimensione puoi facilmente aggiustare le cose prendendo come argomento del log il rapporto tra, per esempio, la concentrazione che hai e una certa concentrazione-campione (cioè anziche definire pH:=-Log[H+] definisci pH:=-Log([H+]/(1mol/l)))