OliForum Matematico

ma... qualcuno sa qualcosa di come sia andata la prova?
<BR>qualcuno sa della squadra imo??

presto si saprà..................
<BR>
<BR>alex

il 3 problemotto (ancora in ansiosa attesa di soluzione) è questa simpatica equazione funzionale
<BR>
<BR>
<BR>f[f(x) + y] = 2x + f[f(y)+x]
<BR>
<BR>f da R in R
<BR>
<BR>(ovviamente, determinare tutte le funzioni)
<BR>
<BR>ieri me lo hanno posto....tutte le tecniche standard di soluzione portano a
<BR> 0=0
<BR>
<BR>io ci rinuncio <IMG SRC="images/forum/icons/icon27.gif">

[Al secondo membro fra parentesi c\'è un -, non un +]
<BR>
<BR>Che dire.... e poi c\'è chi si lamenta di non aver vinto la medaglia d\'oro.... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

quali sono le tecniche standard di soluzione?

Sostituzioni pseudo casuali e determinazione della surgettività-iniettività della funzione tramite il fatto che:
<BR>
<BR>se f(g(....h(x))...) è iniettiva allora h(x) è iniettiva
<BR>se f(g(....h(x))...) è suriettiva allora f(x) è suriettiva
<BR>
<BR>
<BR>~p3~

Bhè, a occhio direi che almen una soluzione (banale) l\'ho trovata: l\'identità... da qui a dimostrare che è l\'unica o a trovarne altre... insomma, ci o pensato si e no un minuto!!

Anzi... ho troppo sonno per postare la soluzione ma credo proprio di aver dimostrato che f(x)=x sia l\'unica soluzione... ma forse la dimostrazione fa ridere (colpa del sonno...) domani mattina ricontrollerò e in caso posterò!

scusate l\'impertinenza ma qui c\'è da usare una nota forma del teorema di Mircea:
<BR>
<BR>Le equazioni funzionali irrisolvibili hanno per soluzione un polinomio di primo grado.
<BR>
<BR>Dopo lunghi calcoli
<BR>f[f(x) + y] = 2x + f[f(y)+x]
<BR>porta a concludere che f(x)=-x in base al teorema è l\'unica soluzione
<BR>
<BR>Ciao!
<BR>Mircea
<BR>P.S.: non mi lapidate!
<BR>[addsig]

ehm... non è per dire, ma f(x)=-x non è soluzione...

l\'identità non è l\'unica soluzione. Le uniche soluzioni sono nella forma f(x)=x+c... divertitevi <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">.
<BR>
<BR>
<BR>~p3~

In effetti ieri sera stavo proprio dormendo... ho fatto una scemata assurda, cmq mi pare che il mio procedimento in generale funzioni, devo solo mettere a punto qualche dettaglio... (forse)

<BR>f[f(x) + y] = 2x + f[f(y)+x]
<BR>diventa
<BR>-(-x+y)=2x-(-y+x)
<BR>x-y=x+y
<BR>ARGH
<BR>beh...guardiamo il lato positivo...
<BR>se y=0 allora è soluzione !!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">
<BR>ora troviamo la soluzione con + impegno:
<BR>
<BR>a(ax+b+y)+b=2x+a(ay+b+x)+b
<BR>a^2x+ab+ay+b=(2+a)x +a^2y+ab+b
<BR>a^2x+ay=(2+a)x +a^2y
<BR>da cui
<BR>{a^2=2+a
<BR>{a=a^2
<BR>quindi 2+a=a, quindi 2=0
<BR>Doppio ARGH! quindi per il teorema di Mircea non ci sono soluzioni.
<BR>
<BR>poi si può anche fare:
<BR>f[f(x) + y] = 2x + f[f(y)+x] con y=0 diventa
<BR>f(f(x))=2x+f(f(0)+x)
<BR>f[f(x) + y] = 2x + f[f(y)+x] con x=0 e y=x diventa
<BR>f(f(0)+y)=f(f(y))
<BR>
<BR>SSSSSSSSSsìììì ! !!!!!!
<BR>
<BR>ho tutti i motivi per essere felice:
<BR>infatti ci sono 2 casi:
<BR>a) ho fatto un ragionamento giusto
<BR>Allora il teorema di Mircea ha funzionato e sono felice
<BR>b) ho sbagliato qcosa X la seconda volta
<BR>Allora sono un idiota e nella mia idiozia credo che il teorema di Mircea sia infallibile e sono felice
<BR>Ciao!!
<BR>Mircea

Come ha già detto Pennywise, il testo è sbagliato, quindi tu, Miccia, sei solo un po\' distratto. Ecco il testo corretto(f da R a R):
<BR>f(f(x)+y)=2x+f(f(y)-x)
<BR>Il primo passo per la soluzione è verificare che è surgettiva con la sostituzione y=-f(x):
<BR>f(0)=2x+f(f(-f(x))-x), cioè f(0)-2x=f(f(-f(x))-x); poiché il primo membro assume qualunque valore reale, ecco che è surgettiva. Per il resto, non mi ricordo la soluzione(ho qui davanti quella ufficiale ma vi lascio il divertimento). Sabato pomeriggio, dicono fonti informate(pressoché ufficiali) i compiti erano corretti: i nomi si dovranno sapere lunedì, insieme alle convocazioni per Pisa settembre(oltre a quelli di noi di 4° e 3°).

i miei complimenti ai sei che difenderanno la bandiera italiana a tokio... e un in bocca al lupo!
<BR>(barbieri in particolar modo...)