PROBLEMI KANGOUROU

In questo forum si discute delle Olimpiadi di Matematica

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vincy3000
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Messaggio da vincy3000 » 01 gen 1970, 01:33

xke scusa una sola soluzione? è l\'equazione di una conica...

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

Adesso sono sicuro che la soluzione sia una sola...
<BR>ps: esistono anche coniche degeneri...

vincy3000
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Messaggio da vincy3000 » 01 gen 1970, 01:33

mi dici che ragionamento hai fatto x capire che è una sola?

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

Basta dimostrache che (x+y)^2 > = (x+3)(y-3), dove l\'uguaglianza si verifica quando si annullano entrambi. Osserviamo innanzi tutto che se y > 3 la disuaguaglianza è verificata sicuramente, e l\'uguaglianza vale solo per x = -3 (per ottenere questo risultato basta sosituire al posto di y il numero 3, per gli y più grandi la disuguaglianza non può che rafforzarsi comparendo y nel primo termine al primo e al secondo grado mentre compare solo al primo grado nel secondo termine). Quindi per y > 3 solo la coppia (3,-3) rende il secondo termine non minore del primo, possiamo quindi analizzare solo quando y < 3. Facendo esattamente lo stesso ragionamento ottieni che anche per x > -3 la disuguaglianza è valida (sempre con l\'accorgiemento di prima sull\'uguaglianza), quindi possiamo considerare x < -3. Per 0 < y < 3 la disuguaglianza è verificatam essendo il secondo membro negativo (x < -3 ), quindi y < 0. Sotto queste condizioni otteniamo che (x+y) < (x+3) e che (x+y) > (y-3), ma ricordando che (x+y) < 0 abbiamo che (x+y)^2 > (x+3)(y-3).
<BR>In realta qui l\'ho fatta mooolto lunga e forse mi sono pure ripetuto, ho scritto un po\' in fretta, ma è piuttosto intuitovo (tanto a te chiedevano solo il risultato, non la dimostrazione, giusto? quella la si può fare con calma a casa...) che il primo membro è maggiore del secondo.
<BR>Se non sono stato chiaro, chiedi pure!

vincy3000
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Messaggio da vincy3000 » 01 gen 1970, 01:33

insomma è una conica degenere...
<BR>

publiosulpicio
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Messaggio da publiosulpicio » 01 gen 1970, 01:33

Si

DD
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Messaggio da DD » 01 gen 1970, 01:33

Mi riferivo alle soluzioni intere, ma avevo letto ...=(x-3)(y-3)
[img:2sazto6b]http://digilander.iol.it/daniel349/boy_math_md_wht.gif[/img:2sazto6b]

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Beh, faccio il sempliciotto per il num 2. Risolvendo rispetto a X con il solito metodo viene come delta -3*(y-3)^2 sempre negativo (e quindi con sol nn reali) tranne che per y=3....così evitiamo di parlare di coniche e disequazioni...

pierre1
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Messaggio da pierre1 » 01 gen 1970, 01:33

scusate l\'ignoranza, qual è il solito metodo?
<BR>grazie
<BR>pierre
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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Per \'solito metodo\' indendo semplicemente la formula di risoluzione di una equazione di 2° grado.........

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

Per \'solito metodo\' indendo semplicemente la formula di risoluzione di una equazione di 2° grado......... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">

pierre1
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Messaggio da pierre1 » 01 gen 1970, 01:33

ok, ma poi cosa faccio?
<BR>forse non hai idea di quanto io sia ignorante!
<BR>grazie per prima (e spero per dopo...)
<BR>pierre
<BR>
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Max84
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Messaggio da Max84 » 01 gen 1970, 01:33

mi sembra alquanto strano che ci siano 6 soluzioni: svolgendo l\'eqauzione si trova quella di un\'ellisse, ruotato e traslato da qualche parte; forse 6 soluzioni sono un pò troppe...
Max

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

OK....prima di tutto, io sto risolvendo il prob originale. Quante sol reali ha (x+y)^2=(x+3)*(y-3)?
<BR>Svolgo i prodotti e trovo x^2+x(y+3)+(y^2-3y+9)=0
<BR>Risolvo rispetto a x: x 1,2=((-y-3) +/- rad(-3y^2+18y-27)/2
<BR>Cioè il delta è -3*(y-3)^2. Se il delta è negativo, viene un numero negativo sotto radice e quindi delle sol non reali. Ma (y-3)^2 è sempre positivo od uguale a 0. Moltiplicato per -3 dà o un numero negativo (sol nn reali) od uguale a 0. Quest\'ultimo caso avviene solo per y-3=0, cioè y=3. Dato che il delta è =0, poi l\'equazione rispetto a x avrà 2 sol reali coincidenti (x1,2=-3).
<BR>Unica sol reale allora (-3,3).
<BR>Il vantaggio di questo semplice procedimento è che nn tira in ballo coniche nè altre strane cose nn accessibili a studenti dei primi 3 anni..... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

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Messaggio da info » 01 gen 1970, 01:33

OK....prima di tutto, io sto risolvendo il prob originale. Quante sol reali ha (x+y)^2=(x+3)*(y-3)?
<BR>Svolgo i prodotti e trovo x^2+x(y+3)+(y^2-3y+9)=0
<BR>Risolvo rispetto a x: x 1,2=((-y-3) +/- rad(-3y^2+18y-27)/2
<BR>Cioè il delta è -3*(y-3)^2. Se il delta è negativo, viene un numero negativo sotto radice e quindi delle sol non reali. Ma (y-3)^2 è sempre positivo od uguale a 0. Moltiplicato per -3 dà o un numero negativo (sol nn reali) od uguale a 0. Quest\'ultimo caso avviene solo per y-3=0, cioè y=3. Dato che il delta è =0, poi l\'equazione rispetto a x avrà 2 sol reali coincidenti (x1,2=-3).
<BR>Unica sol reale allora (-3,3).
<BR>Il vantaggio di questo semplice procedimento è che nn tira in ballo coniche nè altre strane cose nn accessibili a studenti dei primi 3 anni..... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">

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