Il questio n°8!!

In questo forum si discute delle Olimpiadi di Matematica

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Michelangelo
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Messaggio da Michelangelo » 01 gen 1970, 01:33

A mio avviso (e anche di tutti quelli che ho interpellato, professori inclusi) la risposta corretta a questo questo è 1/2: infatti se Lorenzo si è sottoposto al test risultando malato (sottolineo malato) e il test sbaglia nell\'1% dei casi, la sua unica possibilità di essere sano è che il test abbia sbagliato. E\' logico, non serve alcun calcolo! La soluzione fornita sembra non tener conto del risultato del test: infatti avrebbe avuto senso un calcolo del genere se Lorenzo non avesse ancora saputo il risultato del test e avesse voluto calcolare le sue possibilità di essere sano (combinando il 99% della popolazione sana con l\'1% degli errori del test). Dal momento che invece è risultato malato, Lorenzo può solo sperare che il test sia sbagliato!!

Michelangelo
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Messaggio da Michelangelo » 01 gen 1970, 01:33

Sono sempre io, scusate la distrazione (e il sonno) di ieri sera mentre scruvevo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif"> .
<BR>Ho sbagliato nello scrivere il risultato che ritengo corretto: ho infatti invertito 1/100 (che rappresenta x me l\'unica possibilità di Lorenzo di essere sano) con 1/2 (che è invece la risposta fornita nella soluzione, ma a mio avviso sbagliata). Sorry!!!

Laurentius
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Messaggio da Laurentius » 01 gen 1970, 01:33

Sono d\'accordo.. questa non l\'ho capita.

tax
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Messaggio da tax » 01 gen 1970, 01:33

Anch\'io credo che la risposta esatta al quesito n° 8 fosse 1/100 ed anch\'io ho raccolto il sostegno di diverse persone.
<BR>Sollecito perciò la commissione a controllare il suddetto quesito perchè potrebbe esserci stato un equivoco analogo a quello dell\'esercizio 12.
<BR>
<BR>Riporto di seguito il testo del quesito:
<BR>
<BR>In un paese l\'uno per cento della popolazione è affetto da una certa malattia. Il test per sapere se si è contagiati sbaglia nell\'uno per cento dei casi. Lorenzo si sottopone al test e risulta malato.
<BR>Qual è la probabilità che egli sia sano?
<BR>
<BR>Ecco come io ho interpretato il problema:
<BR>
<BR>In un paese l\'uno per cento della popolazione è affetto da una certa malattia (il dato è interessante, ma superfluo). Il test per sapere se si è contagiati sbaglia nell\'uno per cento dei casi. Lorenzo si sottopone al test e risulta malato.
<BR>Qual è la probabilità che il test sia sbagliato?
<BR>
<BR>Ringrazio anticipatamente per l\'attenzione che vorrete concedermi ed attendo fiducioso una risposta (sono ben accetti il parere di Camillo e l\'opinione degli altri utenti del sito tra cui Lucio, che stimo molto ed a cui faccio i complimenti per l\'ottimo punteggio realizzato).
<BR>
<BR>Bye bye
<BR>
<BR>tax

Lucio
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Messaggio da Lucio » 01 gen 1970, 01:33

<IMG SRC="images/forum/icons/icon_eek.gif">
<BR>Ciao tax, ti ringrazio e ricambio la stima.
<BR>Mi associo appieno al tuo parere e a quello di Michelangelo: insomma, che l\'1% della popolazione sia affetto da tale malattia... sì, piacere... ma chi se ne frega?!
<BR>Apporto dunque, dapprima, tutta la mia convinzione intuitiva, che è quella in base alla quale ho risposto (anch\'io 1/100; se vi interessa: durante la prova ci stavo pensando un po\', dopodiché sono andato in bagno a fare pipì e lì mi è arrivata l\'illuminazione, o meglio quella che io credevo e credo fosse tale <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> ).
<BR>
<BR>Ma ora riporto anche un ragionamento logico: e che lo si confuti...!!
<BR>Hmm, mumble mumble... secondo me l\'errore della soluzione proposta sta nel considerare l\'evento malato/sano e l\'evento test corretto/sbagliato come indipendenti, e quindi nel moltiplicarne le probabilità singole.
<BR>In realtà, mi sembra palese che l\'evento malato/sano sia conseguenza dell\'esito sbagliato/corretto del test.
<BR>Se non fosse convincente, chiarisco meglio: una volta ipotizzata una condizione x l\'esito del test (corretto/sbagliato), la condizione malato/sano del povero Lorenzo ne deriva x conseguenza (se il test è corretto -> L. è malato, se il test è sbagliato -> L. è sano, <b>perché mai moltiplicare le prob. di questi 2 eventi? NON sono indipendenti</b>. <IMG SRC="images/forum/icons/icon_frown.gif">
<BR>
<BR>Se non fossi stato sufficientemente convincente <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> persevero, convinto, nell\'opera di persuasione:
<BR>mumble mumble... il test: corretto o sbagliato esauriscono le possibilità, sono cioè eventi complementari, la somma delle loro probabilità deve essere 1.
<BR>99/10000 + 99/10000 non sommano certo a 1... e gli altri 9802/10000 di quale arcano evento sarebbero? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_razz.gif">
<BR>
<BR>Dài, cari tax e Michelangelo e tutti gli altri... mi sa che ci siamo <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif">
<BR>
<BR>Tschüss
<BR>Lucio

Laurentius
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Messaggio da Laurentius » 01 gen 1970, 01:33

Io ho risposto 1/100 e sono convinto di questo, tuttavia sono stato qualche ora (3-4-5) a pensarci.... senza arrivare a nulla.
<BR>L\'unica cosa che ho notato è che il testo dice \"1/100 degli abitanti è malato\". Ma se lorenzo non è veramente malato, allora ci dev\'essere qualcun\'altro di malato, ed il test non lo avrebbe rilevato, quindi gli errori sarebbero 2/100... a meno che non ci fosse un\'altro che è stato individuato malato.... ma in questo caso le possibilità sarebbero 1/2... strano in questo ragionamento forse assurdo che non capisco quasi nemmeno io sono arrivato alla soluzione...
<BR>
<BR><div align=right>Laurentius</div>
<BR>

Nick
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Messaggio da Nick » 01 gen 1970, 01:33

Allora ragazzi: in merito al quesito n 12 io ritengo, come pure ho visto molti altri in questo forum, che la risposta esatta sia 1/100. Vi spiego subito la mia interpretazione del problema. Innanzi tutto la dimostrazione data da voi ragazzi della Normale matematicamente non sembra fare una piega. Non Sembra!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> Se Lorenzo è sano dovranno essere verificate entrambe le condizioni: dell\'appertenenza alla percentuale di popolazione non malata e che il test abbia sbagliato. Il punto è che se si adotta come punto di partenza l\'inverso di questo enunciato, cadremo in un paradosso: e cioè come è possibile che Lorenzo abbia 1/2 di probabilità di essere sano e al contempo il test abbia 1/100 probabilità di essere sbagliato? Come per tutti i paradossi, la soluzione si trova in una errata interpretazione del problema (a mio avviso, almeno). E cioè: l\'unica possibilità che Lorenzo sia sano è data dal fatto che il test abbia sbagliato. La probilità di 99/10000 (che si ottiene moltiplicando 1/100 x 99/100) è la probabilità che il test sbagli su di una persona sana, e cioè che prendendo una persona e sottoponendola al test (senza sapere niente di questa persona) la persona scelta non solo apparterrrà alla parte sana della popolazione, ma risulterà anche malata al test, laddove si debba fare una statistica prima di prendere una persona e sottoporla al test. Per far comprendere meglio ciò che voglio dire: se domenica 1 secondo prima che venga estratto un numero al lotto io dicessi \"è il 48\", avrei 1/90 possibilità di indovinare, indipendentemente dal numero uscito la settimana precedente. Ma se una settimana prima io dicessi \"questa settimana uscirà il 48, e domenica prossima il 48 di nuovo\", le mie probabilità sarebbero (1/90)^2!!! Giusto? La stessa cosa vale per Lorenzo. Una volta che il test è stato eseguito, le probabilità che esso sia sbagliato sono 1/100! E inoltre il verificarsi di questa possibilità implica la sua appartenenza alla parte sana della popolazione (Come dire: se il test ha sbagliato, le sue possibilità di rientrare nella parte sana della popolazione sono 100/100 e quindi diventa 1/100 x 1). Spero di essere stato chiaro, di non aver omesso niente. Complimenti a Lucio per il punteggione. E voi ragazzi della Normale, per favore, considerate tutte \'ste proteste. Almeno dimostrateci che i nostri ragionamenti sono sbagliati... Magari c\'è una qualche regola che non conosciamo.... Ciao a tutti!!!

tax
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Messaggio da tax » 01 gen 1970, 01:33

Sono contento che anche tu Lucio abbia risposto al quesito come me!
<BR>
<BR>Per chiarire ulteriormente questa questione che mi appare lapalissiana riporto di seguito la spiegazione formulata dalla commissione per giustificare la risposta D:
<BR>
<BR>Si hanno due possibilità: o Lorenzo è sano ed il test ha sbagliato, oppure Lorenzo è malato ed il test ha fornito la risposta corretta. La prima situazione ha probabilità 99/100*1/100=99/10000, mentre la seconda ha probabilità 1/100*99/100=99/10000. Pertanto, siccome i due eventi sono equiprobabili, Lorenzo è sano con probabilità 1/2.
<BR>
<BR>La soluzione corretta, a mio parere, invece è:
<BR>
<BR>Si hanno due possibilità: o Lorenzo è sano <!-- BBCode Start --><B>perchè</B><!-- BBCode End --> il test ha sbagliato, oppure Lorenzo è malato <!-- BBCode Start --><B>perchè</B><!-- BBCode End --> il test ha fornito la risposta corretta. La prima situazione ha probabilità 1/100, mentre la seconda ha probabilità 99/100.
<BR>
<BR>P.S.
<BR>Laurentius, il baco nel tuo ragionamento è che il dato che l\'uno per cento della popolazione è malato è sicuro (questa percentuale non è stata determinata tramite il test che sbaglia nell\'uno per cento dei casi). Il fatto che Lorenzo non sia malato non comporta alcuna conseguenza, anche perchè al test potrebbe essere stato sottoposto solo lui.

Susi
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Messaggio da Susi » 01 gen 1970, 01:33

Sono straesaltata x\' a quel che mi risulta sono una delle poche xsone che ha risposto 1/2!!! Cmq io l\'ho risolto così: anzichè considerare 100 xsone ne ho considerate 10000, di cui 100 sono malate. A 99 di queste il medico ha detto che sono malate; delle restanti 9900 a 99 il medico ha detto che sono malate. Quindi il medico ha detto a 198 xsone che sono malate, ma 99 lo sono e 99 no, quindi 1/2 di queste sono sane. Lorenzo è tra queste 198 xsone, quindi ha 1/2 di possibilità di essere sano. Beh, secondo me è così! Cmq, secondo voi con 76 punti posso passare? Lo spero tantissimo x\' l\'anno scorso mi sono divertita troppo e vorrei tanto tornare a Cesenatico! Cmq faccio tantissimi auguri a tutti!

Camillo
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Messaggio da Camillo » 01 gen 1970, 01:33

Allora, complimenti a Susi, perche\' il quesito era veramente sottile. E\' sbagliato dire che il sapere quale percentuale della popolazione e\' malata non vi da\' informazioni dopo aver fatto il test. Supponete infatti di sapere (come poi facciate a saperlo e\' un altro discorso...) che nessuno e\' malato (0%). Allora vi fate il test, scoprite che siete positivi e andate a fare uno sberleffo ai medici: anche se il test sbaglia una sola volta su 100 in questo caso siete sicuri che ha sbagliato!! OK. La situazione e\' poco realistica, pero\' dovrebbe farvi venire in mente che un po\' di informazione la ricavate dal fatto di sapere (con sicurezza!) che solo una certa percentuale della popolazione e\' malata.
<BR>
<BR>Altro esempio. Avete un amico che il 99 per cento delle volte dice cose giuste. Viene a dirvi che gli asini volano. Concludereste
<BR>che all 99 per cento ci sta azzeccando? Va bene, piu\' seriamente, se non vi convince la soluzione apparsa sul sito eccovi un ragionamento \"euristico\".
<BR>
<BR>Supponete che 100 000 000 persone fanno il test. Allora (approssimativamente)
<BR>1 000 000 tra queste sono malate. A loro volta, circa 990 000 riceveranno come risultato la positivita\' alla malattia, mentre i restanti 10 000 riceveranno come risultato la negativita\' (perche\' il test sbaglia...). Delle 99 000 000 di persone sane, 990 000 riceveranno il risultato sbagliato (ovvero la positivita\').
<BR>
<BR>Ecco qui che in tutto le persone che riceveranno la positivita\' al test saranno 990 000 + 990 000. Tra di loro quante persone sono veramente malate? Solo 990 000, cioe\' la meta\'.
<BR>
<BR>Allora se sapete di essere in quell\'insieme di 990 000 + 990 000 persone, deducete corettamente che avete 1/2 di probabilita\' di essere sani!
<BR>
<BR><font size=1>[ This message was edited by: Camillo on 2001-02-25 21:29 ]</font><BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: Camillo on 2001-02-26 03:49 ]</font>

Susi
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Messaggio da Susi » 01 gen 1970, 01:33

Grazie 1000 x i complimenti, cmq mi sembra che la soluzione che hai proposto sia identica alla mia solo con alcuni \"0\" in più! Ma sei Camillo che c\'era allo stage di Torino?

Camillo
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Messaggio da Camillo » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Susi, hai ragione su tutta la linea! Infatti ho postato il messaggio un paio d\'ore fa e visto che ero di fretta non avevo visto il tuo... Inoltre si\' sono quel Camillo... e per per farmi perdonare (e convincere anche i piu\' scettici) esaminero\' una delle obiezioni.
<BR>
<BR>In particolare Lucio obietta che gli eventi sono in realta\' correlati. In generale quando si parla di tests e si da\' il loro \"livello di confidenza\" si sottintende che questo sia lo stesso nel caso di persone sane o malate.
<BR>Comunque anche supponendo che ci sia una correlazione l\'unica risposta corretta sarebbe stata 1/2.
<BR>
<BR>Ecco infatti il perche\'.
<BR>
<BR>Torniamo al caso del messaggio precedente (quello con cento milioni di persone) e supponiamo di non sapere che gli eventi sono indipendenti. Allora dovete porre che il test sbagli \"a\" volte tra i malati e \"b\" volte tra i sani e che il numero \"a+b\" di errori totali sia 1/100 di 100 000 000... Dire che gli eventi sono correlati vuol dire supporre che a non e\' 1/100 dei malati ma una qualsiasi altra frazione.
<BR>
<BR>Bene, i test positivi sono (1 000 000 -a) + b, ovvero i test veritieri fatti sui malati e i test errati fatti sui sani.
<BR>
<BR>La probabilita\' che Lorenzo sia sano e\'
<BR>b/(1 000 000 -a+b). Inoltre sapete che
<BR>a+b = 1 000 000. Sostituite 1 000 000 -a con b e trovate 1/2, purche\' b sia diverso da 0. Ma se b fosse zero, il test sbaglierebbe sempre e solo quando uno e\' malato, quindi non darebbe mai la positivita\'. Visto che Lorenzo e\' risultato positivo, ecco che b e\' un numero diverso da 0!!
<BR>
<BR>
<BR><font size=1>[ This message was edited by: Camillo on 2001-02-26 05:08 ]</font><BR><BR><font size=1>[ This message was edited by: Camillo on 2001-02-26 05:13 ]</font>

Laurentius
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Messaggio da Laurentius » 01 gen 1970, 01:33

Me ne ero accorto dell\'errore che ho fatto... ma si dà il caso che sia stato qualche ora a pensarci e quindi mi sono confuso...
<BR>
<BR>Comunque dell\'ultimo ragionamento c\'è una cosa che non torna secondo me: il test infatti non si sbaglia solo se dice che è malata una persona sana, ma anche il contrario. Quindi il numero di persone rilevate per errore malate non è necessariamente uguale a quelle rilevate malate e veramente malate.
<BR>
<BR>

Laurentius
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Messaggio da Laurentius » 01 gen 1970, 01:33

Forse ho ripetuto qualcosa... scusate non avevo visto che le pagine sono due.
<BR>
<BR><p align=\"right\">

Camillo
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Messaggio da Camillo » 01 gen 1970, 01:33

Ciao Laurentius... il fatto e\' che io mostro che il numero di persone sane e rivelate malate e\' uguale al numero di persone malate e rilevate malate: non lo sto assumendo ingiustificatamente.
<BR>
<BR>Riprendi l\'esempio con 100 000 000 di persone. Chiama a le persone malate rivelate sane e b le persone sane rivelate malate.
<BR>a+b da\' tutti gli errori del test, che devono essere 1/100 di 100 000 000, cioe\' 1 000 000.
<BR>Quindi a+b = 1 000 000.
<BR>
<BR>Chiama c il numero di persone malate rivelate malate. Allora a+c da\' il numero delle persone malate, che sono 1/100 di
<BR>100 000 000, cioe\' 1 000 000.
<BR>Quindi a+c = 1 000 000.
<BR>
<BR>Cosa deduci dalle due equazioni? Deduci che b=c!

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