OliForum Matematico

Ah si scusa non l'ho proprio letto xD

Ci provo... Per prima cosa notiamo che se $f(x)$ funziona allora anche $cf(x)$ funziona, quindi WLOG $f(0)=1$. Ma allora per $x=0$ ottengo $$2=f(y)+f(2y) \, \, \, \text{(1)}$$ per qualsiasi $y$ reale. Invece per $x=-2y$ ottengo $$2f(-2y)=1+f(-y) \Rightarrow 3f(-2y) = 1+f(-y)+f(-2y)=3$$ per (1) e qui...

Di niente

In questo modo tu consideri (per esempio) il numero $20$ non valido, poichè uguale a $020$. Quindi tu manchi i numeri $10,20,30,40,50,60,70,80,90$ poichè nella forma $0x0$ , che sono esattamente $9$.

Un numero $n $ si definisce $k $ regolare se esistono $k $ divisori distinti di $n$ $1=d_1 < d_2 < \cdots < d_k $ tali che $n $ ha almeno $k$ divisori primi distinti e $1+d_2 + \cdots +d_k=n $. Dimostrare che esistono numeri $k $ regolari per qualsiasi $k \ge 6$.

Notiamo che $a=23! + \frac{23!}{2} + \frac{23!}{3} + \cdots + \frac{23!}{23}$ quindi poichè $13 \mid 23!$ si ha che $a \equiv \frac{23!}{13}$ poichè è l'unico elemento della somma che non è divisibile per $13$. Adesso notiamo che $\frac{23!}{13} = 12! \times 14 \times 15 \cdots \times 23$. Per il te...

Eh ma qua vince Saro però . Comunque giuste quelle di Gerald e Saro, quella di Talete boh, non so ancora usare le inversioni.

Sia $ABC$ un triangolo e sia $D$ un punto su $AB$ tale che $4AD=AB$ e sia $E$ su $AC$ tale che $\angle ADE=\angle ACB$. Sia $P$ l'intersezione fra la retta passante per $DE$ dalla stessa parte di $C$ rispetto $AB$ e la circoscritta ad $ABC$. Dimostrare che $PB=2PD$.

Proverò, grazie mille

Sia $ABC$ un triangolo e $A',B',C'$ i piedi delle bisettrici uscenti da $A,B,C$ rispettivamente. Dimostrare che $AA'B'C'$ è ciclico se e solo se $$\displaystyle \frac{BC}{AB+AC} = \frac{AB}{AC+BC}+\frac{AC}{AB+BC}$$

Certo.

Potrebbe qualcuno gentilmente risolverlo? (entrambi i punti )

Sia $f:\mathbb{R^+} \longrightarrow \mathbb{R^+}$ una funzione tale che per qualsiasi $x,y >0$ vale $$f(x+y)-f(x-y)=4\sqrt{f(x)f(y)}$$
1) Dimostrare che $f(2x)=4f(x)$
2) Trovare tutte le possibili funzioni.

Siano $a,b,x,y$ 4 numeri reali dove $x^2+y^2 \leq 1$. Dimostrare allora che $$(ax+by-1)^2 \geq (a^2+b^2-1)(x^2+y^2-1)$$

Grazie mille ad entrambi

Ragazzi io sono del 98 e frequento la V quindi sto un anno avanti. L'anno prossimo vorrei non iscrivermi ad alcuna università per spendere l'anno per prepararmi al meglio per l'esame di ammissione della SNS (cioè devo imparare tutta la fisica xD). Il punto è : posso farlo? Non è che la SNS non accet...