OliForum Matematico

Mentre mangiavo una mela mi è capitato di pensare a questo problema, ma da un nuovo punto di vista. Si prenda il triangolo tangenziale A'B'C' di quello dato. Esso (per semplice calcolo di angoli) è omotetico a VaVbVc. Allora AVa, BVb, CVc concorrono, ma soprattutto lo fanno nel centro di similitudin...

Il triangolo di lato unitario ha area \frac{\sqrt{3}}{4} . Il tetraedro di lato unitario ha volume \frac{1}{6\sqrt{2}} . E allora quanto vale l'ipervolume di un ipertetraedro in n dimensioni? Praticamente: base per altezza/n , (base a n-1 dimensioni). Per "ipertetraedro" intendo una figura...

Ecco la mia dimostrazione dell'esercizio di partenza: coi complessi+polari. Chiamo i vertici a,b,c, sulla circonferenza unitaria, così H=a+b+c=\sum a e V_A=-\frac{bc}{a} . pol(X_BX_C)=pol(BC)pol(t_A):=s_A e pol(BC)=\frac{2bc}{b+c} . Dimostrerò che l'inverso di M rispetto alla circonferenza circoscri...

Credo che sia andato all'anagrafe per cambiar nome... Beh, in effetti l'area potevo calcolarla con qualsiasi proiezione, non solo con l'apotema... Boh, è stato automatico: Uno nota subito che il minimo sembra al centro, allora metto una quantità (che alla fine scompare magicamente, segno del fatto c...

Per il bonus 1 bisognerà trovare un modo per limitare i coefficienti in un intorno (-u;u), dimodoché si possa rappresentare in base 2u+1, con cifre da -u a u. Esempio: 236 in base 5: 236=2*125-25+2*5+1 quindi 236=(2,-1,2,1). Per il bonus 2: lo dico facendo un po' di scuola delle schede gobbiniane. S...

Di già!?
Davvero carina e istruttiva; a breve posterò la mia.
Due osservazioni: ad un certo punto scrivi MND al posto di MHD (typo);
e poi il "corollario" funziona per ogni H, anche non ortocentro.

Anzi, rilancio! Lo si dimostri.

Scusa tanto: banale e stupido mio errore di calcolo! Comunque, ecco come ho ragionato: Sia x il vettore che collega il centro del poligono a M. Siano v_1,\ldots a_n i vettori unitari perpendicolari ai lati. Sia (A;B) il simbolo per il prodotto scalare. Sia k=\frac{2A}{na} l'apotema del poligono. All...

Sia ABC inscritto nella circonferenza \Gamma , con ortocentro H. Le intersezioni delle altezze con \Gamma (diverse da A,B e C) siano rispettivamente V_A,\ \ V_B,\ \ V_C . Siano t_A,\ \ t_B,\ \ t_C le tangenti a \Gamma in V_A,\ \ V_B,\ \ V_C . Chiamiamo X_A,\ \ X_B,\ \ X_C le intersezioni del tipo: B...

Sbaglio o è una stima moooolto larga?
$ LHS\geq \frac{n^2 a^2}{2A} $, almeno per n pari (basta considerare le coppie di lati opposti per capire che il minimo è nel centro).

E si dovrebbe fare anche con il Bonus 1, forse.
Ma nel bonus 2 la "realtà" si riferisce ai coefficienti o a quello che posso dire?
Perché se è la seconda ipotesi, allora equivale al problema originale (con una domanda non si riesce!).

2 domande vanno bene?

E comunque a me sembra falso... a meno che tu non intenda A, Q, R allineati eccetera...

Come prima, ti riduci a dimostrare che concorrono le perpendicolari da P,Q,R a BC,CA,AB o la terna equivalente.

Prendi una funzione convessa, definita in un certo insieme chiuso. Prendi anzi per semplicità una funzione da [a,b] a R, convessa. Il grafico è simile ad un sorriso. Capirai che i punti di massimo possono trovarsi soltanto agli estremi. Cioè x=a oppure x=b massimizza il valore della funzione. O pref...

Provate a dimostrare usando il fatto: è istruttivo.
Se volete dimostrare il fatto, ecco un hint:
usare ceva trigonometrico.