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Posso rispondere in italiano? :P Chiamo \displaystyle~\alpha la circonferenza tangente in \displaystyle~A , \displaystyle~\beta quella tangente in \displaystyle~B e \displaystyle~\delta quella per \displaystyle~C,M,N . Sia \displaystyle~D l'intersezione tra \displaystyle~CE e \displaystyle~AB . \di...

ABC is acute-angled and is not isosceles. The bisector of the acute angle between the altitudes from A and C meets AB at P and BC at Q. The angle bisector of B meets the line joining HN at R, where H is the orthocenter and N is the midpoint of AC. Show that BPRQ is cyclic. ---- Sia ABC un traingolo ...

A larger circle contains a smaller circle and touches it at N. Chords BA, BC of the larger circle touch the smaller circle at K, M respectively. The midpoints of the arcs BC, BA (not containing N) are P, Q respectively. The circumcircles of BPM, BQK meet again at B'. Show that BPB'Q is a parallelogr...

ABC is a triangle. E is a point on the median from C. A circle through E touches AB at A and meets AC again at M. Another circle through E touches AB at B and meets BC again at N. Show that the circumcircle of CMN touches the two circles.

Mi si è mangiato un pezzo del msg.. vedi l'ultima equazione in u di secondo grado? se risulta negativa per qualche u allora ha discriminante positivo (deve avere delle radici). La condizione di discriminante positivo è la stessa cosa di (*), prova a fare i conti.. li ho fatti stavolta (sulla fiduci...

Io direi che ci troviamo in un caso particolare di cerchio di Apollonio

Se jordan mi confermasse che non ho scritto cavolate nella dimostrazione (cosa molto probabile visto che non avevo neanche controllato), posterei volentieri la mia che utilizza riarrangiamento, Chebycheff e Nesbitt. :roll: Sono anni che non provo piu' queste cose, ma, se non ho combinato pasticci c...

p(x):=x²+ax+b,q(x):=x²+cx+d,wlog i<j<k<l t.c. p(i)=p(j)=q(k)=q(l)=0. In particolare i<j>c-√(c²-4d) cioè ((a-c)²-(a²-4b)-(c²-4d))²=(-2ac+4b+4d)²>4(a²-4b)(c²-4d) cioè (2b+2d-ac)²>(a²-4b)(c²-4d) (*). Adesso hp(x)+kq(x)>0 se Δ((hp+kq)(x))<0 sse (au+kc)²-4(bu+kd)(u+k)<0>0, ma questa condizione è equival...

Cioè dobbiamo provare che il polinomio q(x)r(x) ha e sattamente (o almeno?) 4 radici? :roll: e' proprio qua, in sostanza, che sta la mia perplessita'. Il testo richiede di provare che q(x) o r(x) ha esattamente tre radici reali. Io, se non ho fatto errori, ho provato che e' q(x) ad avere tre radici...

p(x):=x²+ax+b,q(x):=x²+cx+d,wlog i<j<k<l t.c. p(i)=p(j)=q(k)=q(l)=0. In particolare i<j>c-√(c²-4d) cioè ((a-c)²-(a²-4b)-(c²-4d))²=(-2ac+4b+4d)²>4(a²-4b)(c²-4d) cioè (2b+2d-ac)²>(a²-4b)(c²-4d) (*). Adesso hp(x)+kq(x)>0 se Δ((hp+kq)(x))<0 sse (au+kc)²-4(bu+kd)(u+k)<0>0, ma questa condizione è equival...

x^3 + ax^2 + bx + c has three distinct real roots, but (x^2 + x + 2001)^3 + a(x^2 + x + 2001)^2 + b(x^2 + x + 2001) + c has no real roots. Show that 2001^3 + a 2001^2 + b 2001 + c > 1/64.



PS
carino e non difficile

The quadratics x2 + ax + b and x2 + cx + d have real coefficients and take negative values on disjoint intervals. Show that there are real numbers h, k such that h(x2 + ax + b) + k(x2 + cx + d) > 0 for all x. questo problema e' molto carino e non e' per niente banale, vi consiglio di non sottovalut...

Di questo problema ho trovato una soluzione che risponde alla richiesta, ma non e' esattamente quello che chiede il testo (ammesso che io l'abbia tradotto bene dall'inglese e che magari non abbia fatto qualche cappellata chi l'ha tradotto dal russo all'inglese). In un certo senso, ho provato un risu...

The quadratics x2 + ax + b and x2 + cx + d have real coefficients and take negative values on disjoint intervals. Show that there are real numbers h, k such that h(x2 + ax + b) + k(x2 + cx + d) > 0 for all x.

Siano x e y due interi positivi tali che 3x^2+x=4y^2+y . Dimostrare che x-y e' un quadrato perfetto. :wink: Non so se porta a qualcosa di piu' semplice, ma la relazione data e' equivalente a: (x-y)(1+3(x+y)) = y^2. Correggo e riscrivo ------ Se x-y non e' un quadrato, allora c'e' un k intero: x-y =...