OliForum Matematico

concordo col risultato di enigma. Però io non concluderei dicendo che è facile verificare che quella roba è un intero, perchè non mi sembra proprio banale verificarlo.... direi invece che essendo quelle le 2 soluzioni dell'equazione $x^2-3x+1=0$ quella roba rispetta la ricorrenza $x_{n+2}=3x_{n+1}-x...

ecco un modo molto brutale ma molto efficace (per ora non ne ho trovati altri): prendiamo un riferimento cartesiano con A in (0,0) e B in (1,0). Il punto M ha coordinate (x,0) con x tra 0 e 1 e i punti $P_i$ hanno coordinate $(a_i,b_i)$. Vogliamo dimostrare che la funzione $\displaystyle \sum |MP_i|...

ecco una soluzione miracolosa: $\displaystyle (\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7})^2=\frac 3 2-\frac 5 2(\cos\frac{\pi}{7}-\cos\frac{2\pi}{7}+\cos\frac{3\pi}{7})$ Questo può essere facilmente verificato usando la solita formula $\displaystyle \cos a\cos b=\frac{\cos(a+b)+\cos(a-...

@sonner:sicuro che non siano coseni invece che seni?

secondo me M/m veniva 27/5

usando il fatto che $\arctan a+\arctan b=\arctan(\frac {a+b}{1-ab})$ viene che quella roba è uguale a $\arctan(\frac{28799}{28321})$. Serve a qualcosa? Rifai un po' i conti :lol: oddio è vero :oops: avevo calcolato la somma e non la differenza! Dopo averlo rifatto in effetti viene $\arctan 1=\pi/4$...

usando il fatto che $\arctan a+\arctan b=\arctan(\frac {a+b}{1-ab})$ viene che quella roba è uguale a $\arctan(\frac{28799}{28321})$. Serve a qualcosa?

soluzione da due righe:
per C.S. $(x^4+y^4+z^4)(x^6+y^6+z^6)\ge (x^5+y^5+z^5)^2$ da cui $(a^4-1)(a^6-1)\ge (a^5-1)^2$.
Quindi $a^4(a-1)^2\le 0$ che può essere vero solo se a=0 o a=1. a=0 chiaramente non è accettabile, se a=1 allora x=y=z=0

intendo interi non necessariamente primi

in realtà credo che con appena un po' più di lavoro a mano si possa tranquillamente risolvere negli interi in generale, partendo da questo fatto:

ultra mega super hint:

scusa ma come accidenti fa a essere semplice una roba che ha per soluzione (83,19) !?
A questo punto sono curioso di sapere come l'hai risolta....

ah ho capito! x,z e $\frac y{\sqrt 3}$ rappresentano 3 congiungenti i vertici di un triangolo rettangolo di lati 3,4,5 ad un punto interno... ed alla fine si scopre che xy+2yz+3xz rappresenta $4\sqrt 3A$ dove A è l'area del triangolo! Un'idea veramente molto difficile da farsi venire però!! La mia s...

a questo punto mi sono già ricavato x,y,z... quindi faccio un po' di contacci e viene che $xy+2yz+3xz=24\sqrt 3$
La soluzione bella?

boh probabilmente esiste una soluzione più bella della mia, che di olimpico ha ben poco ed anche il risultato finale è brutto! Chiamo le tre equazioni 1), 2) e 3) usando 1 e 2 ottengo $x^2+xy-z^2=16$ 4) usando 3 e 4 ottengo $2z^2+xz=xy$. Elevando al quadrato quest'ultima e ricordando che dalla 2) $y...