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In un triangolo ABC siano D,E,F rispettivamente su BC,CA,AB i punti di tangenza degli excerchi (ciascuno con il lato opposto al rispettivo vertice). Siano O,I i centri del circocerchio e dell'incerchio del triangolo. a) Dimostrare che i cerchi \odot(AID),\odot(BIE),\odot(CIF) concorrono in un altro ...

Sia ABC un triangolo inscritto in un cerchio \Gamma ; \Omega è un cerchio tangente internamente a \Gamma , e A_1,B_1,C_1 su di esso sono tali che AA_1,BB_1,CC_1 concorono in punto di \Gamma . Consideriamo il triangolo i cui lati sono il simmetrico di B_1C_1 in BC e ciclici. Dimostrare che il circoce...

In un triangolo ABC , inscritto in una circonferenza \omega di centro O , le altezze AA_0,BB_0,CC_0 concorrono in H . Sia P un punto sulla retta OH e A_1,B_1,C_1 le seconde intersezioni di \omega con AP,BP,CP . Chiamiamo A_2 il simmetrico di A_1 in A_0 , e similmente B_2,C_2 . Dimostrare che i punti...

Se non mi sbaglio, queste dovrebbero soddisfare: .

Sia dato un triangolo ABC con circocentro O . Chiamiamo X,Y,Z i circocentri dei cerchi \odot(BOC),\odot(COA),\odot(AOB) . a) Dimostrare che le circonferenze \odot(AYZ),\odot(BXZ),\odot(CXY) concorrono in un punto V . b) Dimostrare che la tripolare di V rispetto ad ABC passa per O . NOTA: Se in un tr...

Sia dato un triangolo ABC in cui l'incerchio \omega tange i lati BC,CA,AB nei punti D,E,F e ha centro I . I punti B_1,B_2 giacciono rispettivamente sul segmento BI e sulla sua estensione oltre I , e appartengono a \omega ; similmente definiamo C_1,C_2 rispetto al vertice C . Il cerchio \omega_B tang...

Sia dato un triangolo ABC inscritto in una circonferenza \Gamma di centro O ; chiamiamo \omega_A il cerchio tangente ai lati AB,AC e tangente internamente al cerchio \Gamma nel punto A_1 ; similmente definiamo le circonferenze \omega_B,\omega_C e i punti B_1,C_1 . a) Dimostrare che le rette AA_1,BB_...

Sia dato un cerchio $ \Gamma $ e, nello stesso piano, tre punti $ A,B,C $. Consideriamo i due cerchi passanti per $ B,C $ e tangenti a $ \Gamma $ in $ A_1,A_2 $; similmente, definiamo i punti $ B_1,B_2 $ e $ C_1,C_2 $.
Dimostrare che i cerchi $ \odot(AA_1A_2),\odot(BB_1B_2),\odot(CC_1C_2) $ sono coassiali.

Siano dati due cerchi \gamma_1,\gamma_2 che si intersecano nei punti A,B . Una retta interseca \gamma_1 in P,Q e \gamma_2 in R,S . Siano t_P,t_Q le rette tangenti al primo cerchio in P,Q e t_R,t_S le tangenti al secondo in R,S . Siano \omega_1,\omega_2 i circocerchi dei triangoli che hanno come lati...

In un triangolo $ ABC $ sia $ P $ un punto interno e $ P_A,P_B,P_C $ i suoi simmetrici rispetto ai lati $ BC,CA,AB $. Dimostrare che se $ AP_A,BP_B,CP_C $ concorrono, allora concorrono anche le rette di Eulero dei triangoli $ BCP,CAP,ABP $.

In un triangolo ABC consideriamo tre punti A_1,B_1,C_1 su BC,CA,AB ; definiamo A_2=CC_1\cap BB_1 e analogamente B_2,C_2 . a) Dimostrare che i cerchi \odot(BCA_2),\odot(CAB_2),\odot(ABC_2) concorrono in un punto M . b) Supponiamo che \displaystyle{\frac{BA_1}{CA_1}=\frac{CB_1}{AB_1}=\frac{AC_1}{BC_1}...

Dato un triangolo chiamiamo \ell_1,\ell_2,\ell_3 i suoi lati e i vertici rispettivamente opposti A_1,A_2,A_3 . Consideriamo un cerchio \mathcal{C}_1 tangente ai lati \ell_1,\ell_2 nella parte di piano interna al triangolo. A partire da questo costruiamo una serie di cerchi \mathcal{C}_i secondo la s...

Siano dati sei punti A,A_1,B,B_1,C,C_1 su una circonferenza \omega tali che le rette AA_1,BB_1,CC_1 concorrono in un punto P . Il cerchio circoscritto al triangolo formato dalle rette AB,AC,B_1C_1 interseca nuovamente \omega in X , mentre quello circoscritto al triangolo di lati A_1B_1,A_1C_1,BC int...

In un triangolo ABC sia O il circocentro e \ell una retta che lo contiene; questa interseca i cerchi \odot(BOC),\odot(AOC),\odot(AOB) nei punti A_1,B_1,C_1 rispettivamente. a) Dimostrare che le rette AA_1,BB_1,CC_1 concorrono in un punto P . b) Determinare il luogo descritto dal coniugato isogonale ...

In un triangolo ABC , le bisettrici interne degli angoli incontrano i lati opposti BC,CA,AB rispettivamente in A_1,B_1,C_1 . Il cerchio dei nove punti di A_1B_1C_1 ha centro N . Sia I l'incentro di ABC e J il suo coniugato isogonale rispetto a A_1B_1C_1 . Dimostrare che I,J,N sono allineati.