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Va bene, vai pure col prossimo

Editato, chiedo scusa per la svista, spero che ora sia chiaro... Altrimenti si ottiene un risultato equivalente facendo il minimo comun denominatore per ogni addendo ed il ragionamento è lo stesso !

Non è difficile ed è in parte un "classico", quindi sarebbe carino lasciarla per i novizi che vogliono gloriosamente irrompere nella staffetta. Per ogni $a,b,c$ reali positivi, dimostrare che vale $$ \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq\frac{2}{a+b}+\frac{2}{b+c}+\frac{2}{c+a}\geq\frac{...

Riscrivo il LHS come $\displaystyle \sum 4\frac{a-b}{a+b}(a^2+b^2+ab) =\sum 4(a-b)\left( a+b-\frac{ba}{a+b}\right) = \sum (a-b)\left( 4a+4b-4\frac{ba}{a+b}\right) $ Sposto ora il RHS a sinistra della disequazione, raccolgo $a-b$ e ottengo che la tesi equivale a $\displaystyle \sum (a-b)(5b-3a-4\frac...

Trovare la più piccola $K$ tale che

$$x\sqrt{y}+y\sqrt{z}+z\sqrt{x}\leq K\sqrt{(x+y)(y+z)(z+x)}$$

Buon lavoro, a me è piaciuta !

Dimostro anzitutto che $\forall p \in \mathbb{P}, k \in \mathbb{N}, \exists m\in \mathbb{N} : p^k\mid 2^m+m$ (1) Per $p=2$ basta porre $m=2^k$ e si ha banalmente la tesi. Per $p\neq 2$ procediamo per induzione su $k$. Passo base: per $k=1$ è sufficiente che $m=p-1$ e per il teorema di fermat abbiamo...

L'operazione proposta corrisponde a $f(x,y)=(x+1)(y+1)-1$. Sia $A$ l'insieme di numeri proposto. Chiamo $f(x_1,x_2, \dots , x_n) = \prod_{j=1}^{n}(x_j+1)-1$ Anzitutto è evidente che l'ordine con cui si ordinano gli $x_j$ non è influente. Fatto 1: $\displaystyle f(f(x_1,\dots x_n),x_{n+1}) = \left( \...

Per quali numeri $a$ il prodotto di due numeri interi positivi la cui somma è $a$ può essere divisibile per $a$ ?

LEMMA DI PELL Esistono infinite coppie ($x$, $y$) di interi positivi tali che $$x^2-3y^2=1$$ Noto che (2, 1) risolve l'equazione. Suppongo per assurdo che le soluzioni siano in numero finito. Sia allora ($X$, $Y$) la coppia risolutiva tale che il prodotto $XY$ sia massimo. Noto che: $\bigl(X^2+3Y^2...

Sia $D_{x,y,z}$ il determinante di $\displaystyle \begin{vmatrix} x & y & z \\ z & x & y \\ y & z & x \end{vmatrix}$. Si verifica che $D_{x,y,z} = x^3+y^3+z^3-3xyz$. Ora, il determinante del prodotto di due matrici è il determinante della matrice prodotto. Quindi: $\displayst...

Trovare tutte le funzioni $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tali che $f(f(x)) -x^2+x+3=0$.

la disuguaglianza sarebbe QM-AM, ma è tutto segato, tutto tutto, perchè al posto di alfa avrei dovuto sostituire alfa +1 in un passaggio... Scusami, ho fatto solo casino

Certo, scusami, sono stato affrettato in effetti.. E c'è anche un errore. Stupido. L'idea era di costruire un polinomio di secondo grado con soluzioni alfa e beta e dire che sostituendo ad x le due soluzioni questi si eguagliano a zero. La mia soluzione è segata perchè mi sono scordato che anzichè d...

Posto io la soluzione, anche se non era difficile con l'ultima ipotesi, solo perchè c'ho pensato stanotte per addormentarmi SENZA l'ipotesi aggiuntiva confondendomi all'infinito con un sacco di $S$ :evil: Chiamo $\displaystyle \alpha _k = \sum_{i=0}^kx_i$ e $\displaystyle \beta_{k} = \sum_{i=k}^nx_i...

Sì, lasciamo stare, studiare Fisica mi sa portando alla perdizione D: