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Su ciascun vertice di un cubo è scritto un numero tra 1 e -1, mentre su ogni faccia è scritto il prodotto dei numeri ai suoi quattro vertici. Cambiando il segno al numero di qualche vertice, si può fare in modo che la somma di tutti i 14 numeri faccia 0?

E' possibile riempire con pezzi 1x4 (comunque disposti, orizzontalmente o verticalmente) una scacchiera 10x10?

Trovare tutti gli interi positivi $ a,b $ tali che $ a^b=b^a $.

Trovare tutti gli interi positivi $ x,y $ tali che $ 5^x- 4^y=1 $.

Sia ABCD il trapezio, P il punto di intersezione delle diagonali, XY la parallela per P alle basi AB e CD con X su AD e Y su BC. Per similitudine di APX e ACD, XP:CD=AX:AD. Analogamente dall'altra parte, PY:CD=BY:BC. Tuttavia, per Talete, AX:AD=BY:BC e di conseguenza XP=PY. Quindi, riprendendo la su...

Due circonferenze di centri B e C sono tangenti esternamente in A. Condotta una tangente comune t non passante per A, la perpendicolare per A a t e l'asse di BC si intersecano in F. Dimostrare che BC=2AF.

(Scusate, ma non so ancora usare Latex) La piastrellazione è possibile se e solo se n è multiplo di 6. Detto m il numero di mattonelle utilizzate per la piastrellazione, il quadrato di n deve essere uguale a 9m e quindi n è necessariamente multiplo di 3. Colorando, inoltre, di bianco e nero come un'...