OliForum Matematico

Dovrebbe venire con un double counting, perché entrambi i membri dell'identità sono il numero di modi di salire una scala di $2n-1$ gradini potendo fare passi di $1$ o $2$ gradini alla volta (questa perlomeno è l'idea, probabilmente non riuscirò a convincere più di tanto con la spiegazione seguente)...

Forse puoi concludere velocemente (almeno, io farei così), una volta che hai supposto WLOG $p>q$, semplicemente vedendo l'equazione modulo $p$: $$q^2\equiv 1 \pmod p\ \ \Rightarrow \ \ \ p\mid (q+1)(q-1)\ \ \Rightarrow \ \ p\mid (q-1)\ \ \lor \ \ p\mid (q+1)$$ Quindi abbiamo due casi: $1)$ $p\mid q-...

la soluzione che mi hai dato è di gran lunga migliore a me non pare proprio, la tua usa la stessa idea (già fortemente suggerita dal libro), secondo me quella che ho scritto io ti sembra più convincente solo perché ho usato il $\LaTeX$ per scrivere le formule :mrgreen: (che tra l'altro ti consiglio...

La teoria dei gruppi ci azzecca poco con la matematica olimpica in generale, ho citato il teorema solo perché è una specie di generalizzazione (non molto elementare) del fatto che vuoi dimostrare :mrgreen: . Probabilmente l'hint che ho dato all'inizio è un po' poco, ma se la strada che ho seguito in...

A meno di non sbagliarmi di grosso (cosa che purtroppo mi capita spesso :( ), direi che come hint vanno bene quello del libro e le proprietà delle potenze. Forse è più da "glossario e teoria di base" essendo una proprietà molto base dell'ordine moltiplicativo modulo $p$ di $a$ (il nome che...

È così solamente da un paio di giorni (direi dal 25/26 luglio, al 100% il 22 funzionava perché ricordo di averci visto le foto della squadra IPhO italiana con le medaglie).

I testi dei problemi (e magari le soluzioni numeriche per la conferma di una risposta corretta, visto che io nelle gare a squadre sbaglio sempre un paio di volte prima di azzeccare quella corretta...) sarebbero una manna dal cielo anche per me, avendo una squadra da tirare su per l'anno prossimo, mi...

Lemma: se $\alpha+\beta+\gamma=k\pi$ (con $k\in\mathbb{Z}$), allora vale $$\tan(\alpha)+\tan(\beta)+\tan(\gamma)=\tan(\alpha)\tan(\beta)\tan(\gamma)$$ $$\alpha+\beta+\gamma=k\pi\Rightarrow \alpha+\beta=k\pi-\gamma$$ Prendendo la tangente di entrambi i membri, ottengo che deve valere quindi $$(1) \ ...

Procedo con la seconda freccia (avevi ragione, alla fine è abbastanza banale): Considero un punto $P$ esterno alla circonferenza e che sta sullla polare, traccio la retta $AP$ e la sua perpendicolare passante per $O$ individuando così le due intersezioni $B$ e $C$ (chiamo WLOG $C$ il punto più vicin...

Non credo che questa sia la strada più semplice (sono negato in geometria) e faccio solo il primo verso della freccia (magari questa sera, se non vengo anticipato, concludo), leggere con cautela. Chiamo $D$ ed $E$ le intersezioni di $AB$ e $AC$ con $\Gamma$, per un semplice angle chasing saranno anc...

Questo esercizio è stato discusso molto recentemente qui

@EvaristeG: mi è venuto un grosso dubbio riguardo ai due fatti citati nell'hint, infatti assumendoli entrambi veri incorro in alcuni problemi, quindi molto probabilmente non ho capito qualcosa del testo :? . Metto $n$ nella prima relazione e la valuto modulo $p^2$, ottenendo: $$f(n)p(n)+g(n)p'(n)\eq...

Il lemma LTE oppure quello sconosciuto (almeno da me :oops: ) di A8 sui polinomi e i quadrati (a proposito, ha un nome?) posso anche enunciarli senza dimostrazione? E, se volessi (dovessi :D ) proporne una, potrei anche presentarla in breve in appendice (visto che verrebbero lunghette a trattarle pe...

Come sempre quando c'è $n$, provo l'induzione (se lo avessi chiamato $x$ non ci avrei pensato :lol: ). Il passo base $n=2$ è abbastanza banale, in quanto, per AM-GM su $(1, x_2^2)$ si ha: $$2x_2\leq 1+x_2^2$$ Accorgendomi che $1={2\choose 2}$ e sommando ad entrambi i membri $x_1$ ottengo proprio $$x...

Nel testo di C5 (PreIMO-P) non c'è nessun accenno al fatto che le tessere rettangolari siano disposte con i lati paralleli ai lati della scacchiera oppure abbiano lati di lunghezza intera (e chissà quante altre strambe situazioni che non mi vengono in mente al momento), seppure non mi sembra siano p...