OliForum Matematico

@Troleito: quello che dici mi sembra giusto. Questo problema sembra essere N5 del PreIMO 2011, solo che in quest'ultimo si chiedeva di dimostrare che $ \displaystyle p\mid 7^{\frac{p-1}{2}}+1 $ Forse Matty96 ha commesso un errore di battitura...

Claim: $f(n) = \displaystyle \frac{n \cdot \varphi(n)}{2}$. Sia $S$ la sommatoria nel testo. Gli addendi che compaiono in $S$ sono proprio $\varphi(n)$. Inoltre per le proprietà del M.C.D, $(i,n) = (n-i, n)$; pertanto se $i$ compare nella sommatoria, allora compare anche $n-i$. Si può quindi vedere ...

Lemma : esistono almeno 100 numeri primi $p$ tali che $C < p < C^2$. Dim.: dimostro per induzione su $k$ che tra $C$ e $2^k C$ vi sono almeno $k$ numeri primi. Passo base : $k=1$. Segue dal il Teorema di Chebyshef (o Postulato di Bertrand), il quale afferma che esiste almeno un primo tra $C$ e $2C$...

Nonostante il testo poco accattivante, ci provo :) Lemma degli Scout : se $a \mid b$ allora $\varphi(a) \mid \varphi(b)$. Dim.: deve valere $\displaystyle a= \displaystyle \prod_{i=1}^{k} q_i^{\alpha_{i}}$ e $\displaystyle b= \displaystyle \prod_{i=1}^{k} q_i^{\beta_{i}} \cdot B$, con $B \in \mathbb...

Ma almeno uno tra $ lpf(n) $, $ lpf(n+1) $ e $ lpf(n+2) $ è uguale a 2... Sbaglio?

Uhm, occhio ad alcuni passaggi: $\displaystyle s$ può anche essere 1! (se ho capito cosa è $\displaystyle s$)

Bene il punto (a)
Riguardo il tuo dubbio, attenzione: tu vuoi dimostrare che $n$ divide $(n -k)!$, non che $p$ divide $(n -k)!$. Nel tuo caso si ha $35 \mid 16!$
che è vero.

Sia k \geq 14 un intero e sia \displaystyle p_k il più grande numero primo strettamente minore di k . Sia n un numero composto. Dimostrare che: (a) se \displaystyle n= 2p_k , allora n NON divide \displaystyle (n-k)! (b) se \displaystyle n> 2p_k , allora n divide \displaystyle (n-k)! (si può assumere...

@ant.py: occhio, gli $y$ adeguati possono essere \displaystyle \left\lfloor \frac{n}{ab}\right\rfloor oppure \displaystyle\left\lfloor \frac{n}{ab}\right\rfloor +1 . Ad esempio 2x +3y = 11 ha come soluzioni non negative (4,1) e (1,3) nonostante \left\lfloor \frac{11}{6}\right\rfloor = 1 . Comunque i...

A me viene 2n, ma in realtà anche a te viene 2n! Guarda la seconda uguaglianza alla terzultima riga del tuo post: sottrai 1 da un numero di $ n+2 $ cifre e ottieni un numero di $ n+1 $ cifre??? C'è solo un caso in cui ciò può accadere

Gli esercizi sono da spedire entro domenica. Vale come gli anni scorsi che è sufficente che loro se li trovino nella mail il lunedì mattina ? Bè, l'anno scorso la scadenza era il 15 Luglio ma molte persone (me compreso) avevano inviato gli esercizi la sera del 15... Analogamente se quest'anno la sc...

Riscrivo come $(n\sqrt{3}- \left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor)\cdot n\sqrt{3} > 1 \longrightarrow 3n^{2} -n\sqrt{3}\left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor -1 > 0$. Le radici dell'equazione di secondo grado associata sono $n_{1,2}= \displaystyle \frac{\sqrt{3}\left\lfloor n\sqrt{3}\right\rfloor \pm \sqr...

LeZ ha scritto: Mi sa che non è la strada più veloce anche perchè mi sto perdendo! Aiutini?

Concentrati su $2 \cdot 3^k = 5^y +1$! Hai trovato la soluzione con k=1, come puoi dimostrare che con k>1 non ci sono soluzioni?

benzo494 ha scritto: devo dedurre che quest'anno i BMOisti saranno a Cesenatico? Niente più concomitanza?

Deduzione esatta, ed è un bene per alcune squadre
In bocca al lupo anche da parte mia!!

Uhm... Che mi dici di questa: $\frac {3}{4} + \frac {6}{5} = \frac {39}{20} = \frac {156}{80} = \frac {2 \cdot 78}{2 + 78}$?
Perchè il testo non dice che la frazione a destra deve essere ridotta ai minimi termini...