OliForum Matematico

Non devi necessariamente aver partecipato a Cesenatico, ma devi risolvere e inviare alcuni problemi. Il post dove potrai trovare ulteriori informazioni sarà a breve su questo topic.

Ah giusto, c'è da dimostrare che l'uguaglianza non va bene.
Si ha l'uguaglianza quando ogni $a_i=\frac{1}{i-1}$, ma se ciò fosse vero, il prodotto di questi viene minore di 1 e perciò si esclude.

Provo il 18.1 Per ogni $i$ appartenente a $(2,\dots,n)$ compiamo il seguente ragionamento. \begin{equation} a_i+1=a_i+\frac{1}{i-1}+\dots+\frac{1}{i-1} \end{equation} Dove $\frac{1}{i-1}$ compare $i-1$ volte. Applichiamo ora $AM-GM$ su questi $i$ termini attendo che: \begin{equation} \frac{a_i+1}{i}...

Sostanzialmente bisogna prendere 3 numeri distinti nell'intervallo $1,\dots,29$ e i modi per farlo sono $\binom{29}{3}$. Osserviamo che una volta presi i tre numeri c'è un solo modo per disporli nel modo richiesto nelle ipotesi. Quindi il valore cercato dovrebbe essere $\binom{29}{3}=3654$. A me tor...

Provo il 15.1 (ma non so se è giusta) Sia $k=\frac{a}{b}$ che quindi per ipotesi è $\ge 1$. Considerando $a=bk$ ottengo che: \begin{align} b(\sqrt{k^2 +1}+\sqrt[3]{k^3+1}+\sqrt[4]{k^4+1})\le (3k+1)b\iff \\ \iff \sqrt{k^2 +1}+\sqrt[3]{k^3+1}+\sqrt[4]{k^4+1}\le 3k+1 \end{align} A questo punto si defin...

Viene tipo una cosa di questo tipo? Sia $f$ l'inversione di centro $P$ e di raggio $PK$. Per prima cosa notiamo che $PB_1\cdot PA_1=PB_2\cdot PA_2=PK^2$ (perché $P$ sta sull'asse radicale di $S_1$ ed $S_2$). In base a ciò notiamo che $f(S_1)=S_1$, $f(S_2)=S_2$ e che $f(S)=B_1B_2$. Siccome si manteng...

Allora, innanzitutto mi torna il tuo stesso risultato, però non so se il procedimento è giusto. Il ragionamento è analogo a quello che ho usato per il caso numerico: tabella $p$x$s$. Siamo sicuri che c'è uno studente che ha risolto almeno $[\frac{n\cdot p}{s}]$. Ora, siccome i casi si facilitano man...

Sì, è giusto

Spostare un fiammifero per far tornare l'uguaglianza.
II-VII=I.
(Ogni stanghetta è un fiammifero)
Per rendere più creativo il quesito voglio imporre una limitazione: è vietato fare il simbolo della disuguaglianza ($\neq$)

Allora provo il primo punto. Considero una griglia 6x300, dove nelle colonne ci sono i sei problemi mentre nelle righe i 300 studenti. Quindi diciamo che se una casella viene marcata con una "X", lo studente che si trova sulla riga della "X" ha risolto il problema che si trova su...

Intanto $3033030^4=3^4\cdot 2^4\cdot 5^4\cdot 11^4\cdot 13^4\cdot 7^4\cdot101^4$. A questo punto immaginiamo di porre i quattro 3, i quattro 2, i quattro 5, i quattro 11, i quattro 13 , i quattro 7 e i quattro 101 in un insieme $X$, mentre i tre numeri cercati (chiamiamoli $n_1$, $n_2$, $n_3$) in un...

Provo il 12.3 Per prima cosa notiamo che $P(P(x))=Q(Q(x))$ perché assumono lo stesso risultato per infiniti valori iniziali. Inoltre possiamo constatare che $deg(P(x))=deg(Q(x))$: il grado di $P(P(x))$ è dato dal grado di $P(x)$ (che chiameremo $d_p$) moltiplicato per sé stesso (l'esponete di grado ...

Si chiama scomposizione polinomiale: in questo caso scomponi un polinomio a due variabili come prodotto di due polinomi. Che torna è oggettivo perché se svolgi il prodotto effettivamente ottieni il risultato voluto e ha senso; forse la tua domanda è: "Come fa a venirmi in mente una scomposizion...

$4x+4y-xy=0\Longrightarrow xy-4x-4y=0\Longrightarrow (x-4)(y-4)-16=0\Longrightarrow (x-4)(y-4)=16$

Questa però non è una dimostrazione. Cioè tu devi dimostrare che i casi sono solo quelli (e chiaramente non puoi verificarli tutti). $xy=4(x+y)$, ciò significa che $4x+4y-xy=0$ ovvero $(x-4)(y-4)=16$. A questo punto 16 può essere scomposto come $4\cdot 4$, $1\cdot 16$ e $2\cdot 8$. Il primo caso è u...