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Determinare ogni soluzione in interi positivi all'equazione 2n = 1 + \tau(3n) + \phi(5n) , dove \tau(n) indica il numero dei divisori interi positivi di n e \phi(\cdot) la funzione di Eulero. Dunque, l'idea e' questa, da aggiustare un pochino tenendo presente i casi particolari (tipo nelle disuguag...

Boll ha scritto: $ \frac{1}{\zeta(2)}=\frac{6}{\pi^2} $

Eli', non definirei questo passaggio come 'teoria elementare'
Intendevo una dimostrazione che facesse uso solo di conoscenze olimpiche...

ehi simo... ma hai una dim elementare (ovvero che non fa uso di cose di analisi)?
Io l'avrei fatto usando il fatto che la somma di phi(i) per i=1.. n va come 6n^2/pi^2 (sta su wikipedia, l'ho appena scoperto ) ma non credo sia una cosa facile da dimostrare... magari ci penso!

Sisifo ha scritto:Siano $ p_1=2, p_2=3, ... $ tutti i primi in ordine crescente.

Ma il fatto dei primi successivi ha qualche importanza? o potrebbe essere una successione di interi positivi qualunque?

la soluzione e' ok...
in effetti leggo leggo il forum un po' saltuariamente, o a pezzi, e posto quando ho tempo... quest'anno sono abbastanza impegnata, anche se non particolarmente dalla scuola, devo dire Sicuramente meno di quanto mi aspettassi all'inizio di quest'anno... ciao!

Dunque, sono quasi certa che in questa soluzione ci sia qualcosa che non va, ma non so proprio dire cosa:) Quindi aspetto correzioni... L'idea era quella di risolvere il problema con la proiettiva. Innanzitutto riscrivo il problema in questo modo: Dato un quadrilatero DEXF ciclico e la sua circonfer...

che dire... well done entrambi!
Anch'io l'avevo fatto come piever...

Dati due naturali m ed n, trovare il minimo intero positivo k (funzione di m ed n) tale che scelte casualmente k persone: -o ci sono almeno m coppie disgiunte (cioe' in totale 2m persone e una persona appartiene al massimo ad una coppia) tali che ciascun elemento della coppia conosce l'altro -o ci s...

Il polinomio $ a_8x^8 +a_7x^7 + ... + a_0 $ ha $ a_8 = 1 $, $ a_7 = -4 $, $ a_6 = 7 $ e tutte le sue radici sono reali positive. Trovare tutti i possibili valori per $ a_0 $.

Buon lavoro!

Dato un intero $ k>14 $, sia p il piu' grande primo minore di k. k e' scelto in modo che $ p \geq 3k/4 $. Dimostrare che $ 2p $ non divide $ (2p - k)! $, ma che $ n $ divide $ (n - k)! $ per ogni n composto maggiore o uguale a 2p.

Piu' semplicemente: se n e' pari \displaystyle (2a+1)^n + (2b+1)^n e' congruo a 2 mod 8, quindi non funziona. Se n e' dispari \displaystyle (2a+1)^n + (2b+1)^n= (2a+2b+2)((2a+1)^{n-1}-(2a+1)^{n-2}(2b+1)+...+(2b+1)^{n-1}) il secondo fattore e' dispari perche' il numero di addendi e' dispari, il primo...

Problema infame!!! Scrivendo la soluzione mi sono accorta che in un lemma faccio praticamente il coniugato isogonale di P, e che poi la seconda tesi e’ praticamente il coniugato isogonale di tutto. Quindi dimostrando una e’ fatta anche l’altra… e la seconda e’ molto piu’ facile della prima!!! Infatt...

Finalmente sono venuta a capo della prima meta'... comincio a postare questa, che e' gia' un casino sufficiente da sola... e solo le idee fondamentali. Nel weekend se riesco penso alla seconda. Lemma 1: Se definisco il punto A_4 il punto omotetico rispetto al baricentro di ABC e rapporto -1/2 del pu...

Il risultato e' corretto!
Ora la parte piu' bella e' dimostrare che quello e' davvero il massimo... Forza!

Conoscendo ora il valore di xy , deve esistere un certo \beta\in\mathbb N tale che \displaystyle\beta xy=\beta\frac{(x-y)^2+1}{\alpha}=x^2+y^2+1 che è impossibile se \alpha\neq 1 . :mrgreen: Un commento... premetto che non so se questa strada porti alla soluzione, pero' non puoi pensare di ottenere...