OliForum Matematico

Ecco un altro problema simile agli ultimi pubblicati (ma leggermente più complicato.. :roll: ) Sia $ABC$ un triangolo non isoscele , sia $I$ il suo incentro. Rispettivamente su $BC,AC,AB$ i punti di tangenza dell'incerchio sono $A_1 , B_1 , C_1$ . La retta $AI$ interseca la circoscritta ad $ABC$ (ol...

Ovviamente corretta

Data la successione definita come $c_1 = 2 $ e $ c_{n+1} = \left\lfloor \dfrac{3}{2} c_n \right\rfloor $ . 1) Dimostrare che esistono infiniti $ \alpha \in \mathbb{Z}^+ $ tali che $ c_{ \alpha} \equiv 0 \pmod{2} $ 2) Dimostrare che esistono infiniti $ \beta \in \mathbb{Z}^+ $ tali che $ c_{ \beta} \...

di niente

matpro98 ha scritto:A proposito, dove trovo una dispensa sulle baricentriche?

http://www.artofproblemsolving.com/Reso ... y_full.pdf

matpro98 ha scritto: quindi $A_1$ giace su $I_A H$. Usando il lemma, concludo.

forse sono io che non capisco, ma perchè? $AA_1$ non coincide sempre con $I_A H$

p.s.: scambret , ti prego, dimmi che c'è una soluzione che non sia quella brutta e contosa...

Chiamo $ P(x,y) $ l'asserzione $ f(f(x+y)f(x-y)) = x^2 - yf(y) $ da $ P(0,0) $ si ricava $ f([f(0)]^2) = 0 $ , quindi esiste $ a $ tale che $ f(a) = 0 $ da $ P(0,a) $ si ricava $ f(0) = 0 $ da $ P(-y, y) $ si ricava $ yf(y) = y^2 $ per ogni $ y \in \mathbb{R} $ E quindi $ f(y) = y $ per ogni $ y $ r...

Ovviamente è giusta vai pure con il prossimo

Visto che ci siamo posto anche io: Prendo la successione $ x_{n+2} = 4x_{n+1} - x_n $ con $ x_0 = 2 $ e $ x_1 = 4 $ , ho che $ x_n $ è pari per ogni $ n $ , e per la formula di risoluzione \begin{equation} x_n = ( 2 + \sqrt{3} )^n + ( 2 - \sqrt{3} )^n \end{equation} Ora $ 0 < ( 2 - \sqrt{3} )^n < 1 ...

Penso sia l'unica soluzione bella, probabilmente anche l'unica possibile... Non l'avevi mai visto? :o P.S: Luca, perché hai cambiato nick? xD perchè l'altro non mi piaceva haha :lol: comunque c'è anche una soluzione che non usa le Pell (e che piacerà sicuramente molto a scambret) P.S: scambret, pos...

E poi $ 46 < ( \sqrt{3} )^7 < 47 $

Dimostrare che per tutti gli interi positivi $ n $ si ha che
\begin{equation}
\left\lfloor (2+ \sqrt{3})^n \right\rfloor \equiv 1 \pmod{2}
\end{equation}

Penso che intendesse il caso in cui (WLOG) $b'=\frac{b}{2}=0$ dopo la radice di Clara, la differenza tra $a$ e $b$ sarà di 1, e seguendo la strategia non potrebbe togliere un fattore primo a $b'$ perché è nullo, quindi non può rendere la differenza pari a 0. Almeno io l'ho interpretata cosi :) Si, ...

Basta che Clara continui a dividere per $3$ , lasciando così a Guelfo un numero della forma $3^{2n+1} $ che quindi non è un quadrato perfetto, obbligandolo allora a dividere per $3$ , fino a che Guelfo non restituisce $3^4$ a Clara, la quale estraendo la radice quadrata lascia $3^2$ , ora Guelfo è ...

Sia $ n \geq 3 $ un intero positivo , e siano $a_2 , a_3 , \ldots , a_n $ reali positivi tali che $ \prod\limits_{i=2}^{n} a_i = 1 $ . Provare che
\begin{equation}
\prod\limits_{i=2}^{n} (1 + a_i )^{i} > n^n
\end{equation}