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Bisogna distinguere i casi K appartiene ad AM oppure no, faccio solo il primo l'altro è identico. Osservo che LNC e KMB sono isosceli, dunque MB=MK=\frac{c}{2} e CN=NL=\frac{b}{2} . Dunque KN=MN-MK=\frac{a-c}{2} e poi KL=NL-KN=\frac{b-a+c}{2} . Dunque KL+BC=\frac{a+b+c}{2} . Considerando i tre trian...

Sìsi, bello stage(ora che trovo il tempo di scrivere :D ), abbastanza contento per il risultato finale(ora bisogna rimboccarsi le maniche!). Grazie agli organizzatori e a tutti gli stagisti. Quoto tutto ciò che è stato scritto(beh non proprio) anche perché ho poca voglia di scrivere. Grazie ai miei ...

Il problema tradotto diventa: Trovare tutte le coppie (x,y) di numeri naturali tali che (x,y)=1 e che risulti xy=20! . consideriamo la coppia (x,y) uguale alla coppia (y,x) così da eliminare il problema del razionale compreso fra 0 e 1 . Infatti fra x e y uno è maggiore e quindi una delle due frazio...

Let F,G be the points where the incircle touches sides AB and AC and let N be the midpoint of AB . Since ABE si right angled triangle, EN = \dfrac{AB}{2} . Moreover \angle NEA = \angle NAE = \angle EAC , thus NE is parallel to AC . This obviously implies that N,E,M are collinear. So ME = |MN - NE| =...

Yes, you're right. I corrected it

Per il teorema di Carnot \cos{\alpha} = \dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc} e cicliche. Sostituisco ottenendo \sum_{cyc} \dfrac{a^2+b^2-c^2}{2ab} >1 e moltiplicando per 2abc ottengo \sum_{cyc} c(a^2+b^2-c^2) > 2abc Dunque resta da dimostrare che \sum_{cyc} c(a^2+b^2-c^2) - 2abc > 0 . Il LHS è uguale però a \su...

Nice problem stergiu :wink: Let \alpha,\beta,\gamma be the angles \angle CAB,\angle ABC,\angle BCA . First case: M belongs to the arc AB wich not contains C. \angle MNA = \angle MBA because they lie on the same arc. Since M is on the bisector of the external angle B, \angle MBA = \dfrac{(\angle CAB ...

Edit: Mentre scrivevo, Maioc 92 ha postato la sua soluzione xD Probabilmente la mia soluzione sarà la stessa di Maioc92, comunque la posto. Per comodità chiamo \gamma la circonferenza tangente a CD , AB e \Gamma . Basta fare una figura per accorgersi che, nel caso in questione, chiamato R il centro ...

GioacchinoA, come hai fatto a trovare quella proprietà con n? Ho scritto gli angoli di T_0,T_1,T_2,T_3,T_4 e ho cercato di tirar fuori una formula che funzionasse per quei valori, per poi dimostrarla per induzione. e come l'hai impostato te il ragionamento x induzione? In che senso? Ho utilizzato s...

Io, invece, dopo aver visto quanto valevano i primi angoli ho dimostrato per induzione che al passo n gli angoli del triangolo T_n valgono \dfrac{2^n-(-1)^n}{3 \cdot 2^n}\alpha + \dfrac{2^n-(-1)^n}{3 \cdot 2^n}\beta + \dfrac{2^n+2\cdot(-1)^n}{3 \cdot 2^n}\gamma \dfrac{2^n+2\cdot(-1)^n}{3 \cdot 2^n}\...

L'esercizio dovrebbe essere "Per ogni coppia di interi x e y , se 37x+13y è multiplo di 45 , allora ax+2008y è multiplo di 45 . Trova il valore di a ." 37x+13y \equiv 0 \pmod {45} \Leftrightarrow x \equiv -\dfrac{13}{37}y \pmod{45} . A questo punto trovi l'inverso di 37 modulo 45 che esist...

Descrivo la figura: Disegno una circonferenza \mathcal{C} di centro O . Prendo un punto esterno alla circonferenza e lo chiamo A . Traccio la prima secante che incontra la circonferenza in due punti B e C in quest'ordine. Traccio la seconda secante che incontra la circonferenza in due punti, D ed E ...

Allora cerco di scriverti come farei io. Chiamo per semplicità 2006^{2006}=x So che x \equiv 0 \pmod{2} x \equiv 1 \pmod{5} x \equiv 1 \pmod{9} Risolvo prima il sistema costituito dalla prima congruenza e la seconda. x \equiv 0 \pmod{2} x \equiv 1 \pmod{5} Sappiamo che per il TCR c'è una sola soluzi...

Maioc92 ha scritto:non credo che la 2 e la 3 siano collegate.... la 3 la puoi ottenere moltiplicando 2a+3b per a,pertanto se 11 divide 2a+3b dividerà anche a(2a+3b)

Esattamente

Forse ho scritto male, comunque voglio dire che $ 11|2a+3b $ implica sia la (1) che la (2) che la (3). La (1) perché $ 11|2a+3b \Rightarrow 11|(2a+3b)^2 $ , la (2) perché $ 11|2a+3b \Rightarrow 11|4(2a+3b)^2 $ , la (3) perché $ 11|2a+3b \Rightarrow 11|a(2a+3b) $, ok?