OliForum Matematico

Sbaglio o tipo per $a=b=2$ non funziona? Credo ci sia un typo... secondo me anche la terza coppia di parentesi va al quadrato: \[(a-2)^2+(b-2)^2+(a/b+b/a+1)^2\ge 9.\] EDIT: boh così però è ovvia... il terzo quadrato è sempre maggiore o uguale a $9$ (tipo per am-gm) e quindi la disuguaglianza è vera...

Own (spero di difficoltà dignitosa).
Siano [math]a, b due reali positivi.
Dimostrare che
[math](a-2)^2+(b-2)^2+\left(\frac ab +\frac ba +1\right)^2
\ge 9
e trovare i casi di uguaglianza.

I punti P e Q sono il primo è il secondo punto di Brocard del triangolo A'B'C'. Per le proprietà dei tre punti di Brocard (il teorema è relativamente famoso, e li si trova online, ma credo proprio che tu lo sappia :lol: ), sappiamo che il terzo punto di Brocard è il punto medio del segmento che con...

Sia ABC un triangolo. Sia r_a la retta per A parallela a BC . Definiamo analogamente r_b, r_c . Sia allora A' = r_b \cap r_c . Definiamo allo stesso modo B', C' . Siano P il punto tale che \angle PA'B' = \angle PB'C' = \angle PC'A' e Q il punto tale che \angle QB'A' = \angle QA'C' = \angle QC'B' . I...

Ok, dopo numerosissime richieste, questa è una soluzione vera (o almeno dovrebbe) :lol: Sia $QUESTONONE'UNTROLL\left(x,y\right)$ l'uguaglianza del testo. Step 0. Ponendo $QUESTONONE'UNTROLL\left(0,y\right)$ si ottiene $f\left(0\right)=f\left(0\right)f\left(y\right)$, da cui $f\left(0\right)=0$ altr...

Ciao Floatingpoint, benvenuto!! Immagino tu debba essere alle prime armi :D Mettiamo un po' di ordine in questo topic via, ti metto qua lo sketch della soluzione Sia $TROLL\left(x,y\right)$ Sostituiamo $TROLL\left(x,x\right)$ per ottenere $f\left(x^2\right)=f\left(x\right)^2$, quindi andando a sost...

Own.
Trovare tutte le funzioni [math]f:\mathbb R \to \mathbb R tali che:

• [math]f(x^2)-f(y)^2=f(x+y)(f(x)-f(y))\quad \forall x,y \in \mathbb R

• [math]\exists \gamma \in \mathbb R : f(\gamma)<0

P. S. È il primo problema che propongo qui, siate clementi