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Consideriamo il cerchio \Gamma tangente ad AB, AC e tangente internamente a \Omega ; sia X' il punto di tangenza dei due cerchi. Dimostrerò che X', I, M sono allineati e che, detta A' la seconda intersezione di X'D con \Omega , vale AA'||BC . Per il secondo punto bastano pochi passaggi; sia D' il pu...

A me sembra tutto giusto; io però non sono molto esperto nell'uso delle coordinate baricentriche e quindi non posso confermare al 100% l'esattezza di quanto hai scritto. Comunque l'allineamennto di X', M, I è anche un lemma della mia dimostrazione sintetica, quindi mi sembra di poterti dire che in g...

Sia ABC un triangolo e sia \Omega il suo circocerchio; sia I l'incentro e \omega l'incerchio. Siano D, E, F i punti di contatto di \omega con BC, CA, AB rispettivamente. Siano U e V i punti medi di DE, DF rispettivamente. Sia M il punto medio di UV . Siano X=IM\cap\Omega e Y=AD\cap\Omega tali che si...

Siano rispettivamente r, s le bisettrici interna ed esterna di \angle BAC . La parallela a s per P incontra AB, AC in L, M rispettivamente. Sia F' il punto su LM tale che, detti J=BF'\cap s e K=CF'\cap r si abbia che JKF' è isoscele di base JK ; verificare che tale punto esiste ed è unico è banale. ...

Lo schema generale della dimostrazione sembra corretto; direi che a parte i buffi nomi dei lemmi ed i preannunciati errori di compilazione (in particolare, penso che $ H, K $ debbano essere i punti di tangenza di $ \Omega $ con i lati) va tutto bene.

Sia G_A il baricentro di PAB e O_A il suo circocentro; definiamo similmente G_B, G_C, O_B, O_C . Si verifica immediatamente che i triangoli G_AG_BG_C e O_AO_BO_C sono ortologici con centri nel circocentro O e nel baricentro G di ABC ; ora, se essi sono anche perspettici, per il teorema di Sondat il ...

Sia $ A' $ il simmetrico di $ I $ rispetto a $ BC $ e similmente siano definiti $ B' $ e $ C' $. Per un'ovvia applicazione del teorema di Jacobi le rette $ AA', BB', CC' $ concorrono (nel punto di Gray di $ ABC $). Ma allora $ I $ sta sulla cubica di Neuberg di $ ABC $ e la tesi segue immediatamente.

Visto che dopo più di due settimane nessuno ha risposto, metto un piccolo aiuto:

Sia dato un triangolo ABC e sia \Gamma il suo circocerchio. Sia \Omega il cerchio tangente ad AB, AC e tangente internamente a \Gamma . Sia P un punto di \Omega e sia \omega il cerchio passante per A e tangente a \Omega in P ; siano X e Y le intersezioni diverse da A di \omega con AB, AC rispettivam...

Sia t la bisettrice di \angle BAC , sia r la bisettrice di \angle EUB e sia I=t\cap r . Siano infine AD l'altezza relativa ad A e M il punto medio di BC . Supporrò che AB\leq AC ; l'altro caso è analogo (potrei anche usare gli angoli orientati ma essendoci bisettrici di mezzo diventerebbe più compli...

Probabilmente ci sono soluzioni più corte di quella che esporrò; tuttavia questa mi è parsa bella da presentare perché utilizza alcuni fatti (più o meno) noti interessanti. Dunque, sia I l’incentro di ABC , sia \Gamma il circocerchio e O il circocentro. Chiamiamo infine \omega il cerchio dei nove pu...

Supporrò nella dimostrazione che H_A sia il piede dell'altezza relativa ad A , che M_A sia il punto medio di BC e che T_A\in\gamma ; dimostrerò che T_AY=2XY . Definiamo \omega come l'incerchio e I come l'incentro di ABC ; sia A_1 il piede della bisettrice relativa ad A ; sia A_2 il simmetrico di A' ...