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Per ogni $ x \in [0,1) $ costruire un insieme $ E_{x} \subset [0,1] $ tale che la sua chiusura $ C(E_{x}) $ non contiene aperti ma la sua misura di Lebesgue $ m(E_{x}) > x $

Provare che l'insieme dei sottomonoidi additivi di $ N $ è numerabile.

Metto in bianco una soluzione: Sia A un insieme che verifica la proprietà in questione. Per ogni 1<= j <=n sia Aj l'insieme delle stringhe ottenute prendendo le stringhe di A e invertendo il j-esimo carattere (cioè se era 0 diventa 1 e viceversa). Si verifica subito che A, A1, ..., An sono disgiunti...

Per quanto riguarda il primo forse la seguente è la strada per risolverlo: immaginiamo le cinque tessere disposte in una scacchiera di dimensione infinita con caselle bianche e nere. L'osservazione di fondo è che se dopo una serie di mosse una tessera non si trova piu' in una casella dello stesso co...